ВУЗ:
Составители:
интервале
[
]
1,1 − , можно доказать, что
0 lim
h
N
N
uU: uPu=
→∞
∀∈ −
при N →∞ (1.12)
здесь
0
N
h
Ni
i=
Pu= c
i
ϕ
∑
.
Более того, если
(
)
m
uH
∈
Ω , иными словами, если искомое
решение
u m является -раз непрерывно дифференцируемым, то,
согласно [
6], ошибка аппроксимации будет следующей:
1
2
hm
m
N
H
L
uPu CN u
−
−≤ . (1.13)
Таким образом, используя спектральное разложение, для
достаточно гладких функций можно получить экспоненциальную
скорость сходимости приближенного решения к точному. В этом и
состоит основное преимущество спектрального метода: очень
точные приближенные решения могут быть получены при
небольшом числе слагаемых (5), причём ошибка аппроксимации
будет уменьшаться экспоненциально с ростом
N . Необходимо
отметить также, что, поскольку спектральный метод является
глобальным методом, то, определив коэффициенты приближенного
разложения (5), можно получить значения искомой функции в
любой точке области с заданным порядком точности.
Недостатком глобального спектрального метода является то,
что многочлены Якоби являются ортогональными на отрезке
[
]
1,1 − и, следовательно, утверждения об экспоненциальной
скорости сходимости приближенного решения к точному имеют
место только в случае, если область интегрирования представляет
собой (
[1,1]Ω= −u
∈
ℜ ) отрезок . Для того, чтобы решить задачу с
произвольной областью интегрирования, необходимо найти замену
координат, переводящую исходную область интегрирования в
единичный отрезок.
Спектральный метод обобщается на случай двух и более
измерений путём использования в качестве базисных функций
тензорного произведения соответствующих одномерных базисных
функций.
В случае двух и более измерений задача о нахождении
преобразования координат становится достаточно сложной,
особенно если область интегрирования имеет сложную форму.
Поэтому имеет смысл разбить исходную расчетную область на
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
