Физические основы микроэлектроники. Попов В.Ф. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

π
=µ
2
3
2
2 mkT
h
V
N
kT ln
. (7.12)
Подставив выражение (7.12) в (7.11), находим
kT
E
e
mkT
h
V
N
Ef
−
π
=
2
3
2
2
)(
. (7.13)
Функция (7.13) называется функцией распределения Максвелла–Больцмана.
На рис. 15, а показан график функции f
М–Б
(Е). Он имеет максимум при Е = 0 и асимптотически снижается до нуля при Е
→ ∞. Это означает, что наибольшую вероятность заполнения имеют состояния с низкими энергиями. По мере повышения
энергии состояний вероятность их заполнения непрерывно падает.
Умножая (7.13) на (7.10), получим полную функцию распределения частиц по энергиям
)()()(
,,
EdEfEm
h
V
dEEN
0
M
5051
3
2
4π
= . (7.14)
а)
б)
Рис. 15 Функция распределения для невырожденного газа:
а – средняя степень заполнения состояний частицами;
б – полная функция распределения
Ее называют полной функцией распределения Максвелла–Больцмана. График этой функции представлен на рис. 15, б.
Максимум этой функции будет при
kTE
2
1
=
max
, среднее значение при kTE
2
3
ср
= .
7.2 Функция распределения для вырожденного газа фермионов
Функция распределения для вырожденного газа фермионов была впервые получена итальянским физиком Ферми и
английским физиком Дираком и имеет следующий вид
1
1
ДФ
+
µ−
=
−
kT
E
Ef
exp
)(
. (7.15)
Здесь, как и ранее, через µ обозначен химический потенциал вырожденного газа фермионов.
Из (7.15) видно, что при
µ
=
E функция распределения
2
1
ДФ
=
−
)(Ef при любой температуре Т ≠ 0. Поэтому со
статистической точки зрения уровень Ферми представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого
равна
2
1
. Рассмотрим свойства вырожденного газа при различных температурах.
7.2.1 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ ПРИ
АБСОЛЮТНОМ НУЛЕ. ЭНЕРГИЯ ФЕРМИ
Металл для свободных электронов является своеобразной потенциальной ямой, выход из которой требует затраты
работы по преодолению сил связи, удерживающих электроны в металле. На рис. 16 представлена схема такой потенциальной
ямы. Горизонтальными линиями показаны энергетические уровни, которые могут занимать электроны. В соответствии с
принципом Паули на каждом таком уровне могут разместиться два электрона с противоположными спинами. Если
электронный газ содержит N электронов, то последним занятым окажется уровень
2
N
. Этот уровень и называется уровнем
Ферми для вырожденного электронного газа. Он соответствует максимальной кинетической энергии Е
F
, которой может
обладать электрон в металле при абсолютном нуле.

Страницы