Физические основы микроэлектроники. Попов В.Ф. - 7 стр.

UptoLike

Составители: 

Et
h
. (3.6)
Это запись общего соотношения для волн де Бройля (получается из тех соображений, что ∆ω∆t
1).
4 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Качественное своеобразие объектов микромира потребовало пересмотра способов описания их движения и привело к
отысканию в квантовой механике соотношения, имеющего смысл второго закона Ньютона в классической механике. Эту
задачу впервые поставил и решил Шредингер, чьим именем и названо соответствующее волновое уравнение, так как из него
получают свое объяснение все волновые свойства микрочастиц.
Посылки:
1) Функция, описывающая поведение объектов микромира, должна быть вероятностной, так как описывает движение
волн де Бройля, имеющих вероятностный смысл, а также конечной, непрерывной и однозначной.
2) Уравнение движения должно описывать движение волны де Бройля.
Для микрочастицы, движущейся в силовом поле со скоростью
V << c и обладающей потенциальной энергией
U(x, y, z, t) (вообще говоря, не является потенциальной энергией, так как потенциальная энергия не зависит от времени, а
зависит только от координат), уравнение Шредингера имеет следующий вид
t
itzyxU
zyx
m
h
ψ
=ψ
ψ
+
ψ
+
ψ
h),,,(
2
2
2
2
2
22
2
. (4.1)
Это временное уравнение Шредингера.
Сама волновая функция смысла не имеет, а имеет смысл квадрат ее модуля:
2
ψ плотность вероятности нахождения частицы в объеме dV в момент времени t (так как волновая функция
вероятностная, то следовательно она комплексная, поэтому квадрат модуля);
3) Интеграл
ψ dV
2
должен быть конечным, где ψволновая функция, которую находят из уравнения Шредингера,
dVбесконечно малый объем, в котором заключена частица. В самых простейших случаях условие (3) сводится к условию
нормировки вероятностей или определению вероятности нахождения частицы в бесконечно малом объеме пространства, т.е.
ψ dV
2
= 1 – условие нормировки вероятностей; соответственно функция ψ, удовлетворяющая этому условию, называется
нормированной.
ψ= dVP
2
полная вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом объеме dV.
Уравнение (4.1) описывает все состояния микрочастицы за неопределенно большой промежуток времени, что делает ее
малопригодной для решения ряда практических задач. Поэтому имеет смысл ввести следующие упрощения:
1 Принять функцию
U в уравнении (4.1) независящей от времени t, а зависящей лишь от координат.
2 Микрочастица распространяется вдоль оси
X. Тогда уравнение (4.1) примет вид
),()(
),(),(
txxU
x
tx
mt
tx
i ψ
ψ
=
ψ
2
22
2
h
h
. (4.2)
Решением данной функции является ),( txψ , которую можно представить в виде произведения
)()(),( txtx ϕ
ψ
=
ψ
. (4.3)
Подставляя (4.3) в (4.2), получим
)()()()()( xxxU
x
t
mt
xi ϕψ
ψ
ϕ=
ϕ
ψ
2
22
2
h
h
. (4.4)
Разделим обе части уравнения (4.4) на произведение )()( tx
ϕ
ψ
)(
),(
)(
)(
)(
xU
x
tx
tmt
t
t
i
ψ
ψ
=
ϕ
ϕ
2
22
1
2
1 h
h
. (4.5)
Левая и правая части уравнения могут быть равны только при том условии, что они равны некоторой постоянной.
Можно показать, что эта постоянная равна
Е, где Еполная энергия микрочастицы.
Приравняем к
Е левую часть уравнения (4.5)
E
t
t
t
i =
ϕ
ϕ
)(
)(
1
h
,
или