Физические основы микроэлектроники. Попов В.Ф. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

E
t
i
t
t
h
)()( ϕ
−=
ϕ
∂
. (4.6)
Уравнение (4.6) представляет собой временную часть уравнения Шредингера. Решение этого выражения
0
ϕ+−=ϕ lnln t
E
i
h
. (4.7)
Избавимся в (4.7) от логарифмов и заменим
ω=
h
E
, получим выражение для ϕ (t), т.е.
)exp()( tit ω−
ϕ
=
ϕ
0
. (4.8)
Приравняв –Е правую часть уравнения (4.6), получим:
ExU
dx
d
m
−=−
ψ
ψ
)(
2
22
1
2
h
;
0
1
2
2
22
=−+
ψ
ψ
)( UE
dx
d
m
h
;
)( EU
dx
d
m
−=
ψ
ψ
2
22
1
2
h
.
Разделим обе этого части уравнения на
ψm2
2
h
.
22
2
2
2
22
2
hh
h
ψ
−=
ψ
ψ
ψ m
EU
dx
dm
m
)(
;
22
2
2
h
ψ
−=
ψ m
EU
dx
d
)(
;
0
2
22
2
=−ψ+
ψ
)( EU
m
dx
d
h
. (4.9)
Уравнение (4.9) называют стационарным уравнением Шредингера. Это уравнение является важнейшим соотношением
в нерелятивистской квантовой механике. Функции ψ(
x), удовлетворяющие стационарному уравнению Шредингера при
данном
U, называют собственными функциями. Значения E, при которых существует решения уравнения (4.9) называют
собственными значениями.
5 ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
5.1 Движение свободной микрочастицы
Для свободной микрочастицы, движущейся вдоль оси Х, ее полная энергия совпадает с кинетической, а v = const, т.е.
U(x) = 0. Направим ось Х вдоль вектора скорости. Тогда стационарное уравнение Шредингера (4.9) приобретает вид
0
2
22
2
=ψ+
ψ
E
m
dx
d
h
. (5.1)
Выражение (5.1) – это уравнение гармонических колебаний
=ω+ 0
2
2
2
x
dt
xd
. Перепишем (5.1) в соответствии с
выражением в скобках
0
2
2
2
=ψ+
ψ
k
dt
d
. (5.2)
Решением уравнения (5.2) является функция
)exp()exp()( ikxBikxAx +
=
ψ
, (5.3)
где А и В – постоянные коэффициенты;
mEk 2
1
=
h
. (5.4)

Страницы