Логика. Ч.1. Попов Ю.П. - 86 стр.

                           Часть 2. (3) Символическая логика

                                Глава 6. (3) Логика высказываний

§32. (3) Образование сложных высказываний
Суждение, как мы помним, обладает двумя важнейшими для логики свойствами: 1) быть либо ис-
тинным, либо ложным и 2) что-либо утверждать или отрицать. В логике высказываний от всей мыс-
ли, когда она предстает как высказывание, в поле зрения остается одна лишь ее способность - быть
либо истинной, либо ложной. Каждое высказывание обозначают какой-либо латинской буквой: p, q,
r, s,... Они получили название пропозициональных переменных. Кроме того, вводятся специальные
значки для некоторых стандартных языковых оборотов: "если..., то...", "и", "или" и т.п., которые на-
зывают логическими союзами. Нам надо перечислить все логические союзы и составить для них таб-
лицу истинности (см. таблицу 1). В символической логике принято обозначать истинное выражение
единицей, а ложное - нулем. Стало быть, в приведенной дальше таблице 1 и 0 заменяют соответст-
венно слова "истинно" и "ложно".
Отрицание. Этот логический союз образуется за счет добавления к любому высказыванию слов "Не-
верно, что...". Для символической записи отрицания мы будем использовать черту (перед) над пере-
менными или формулами: -p. Читается: "Неверно, что p", или просто: "He-p". И если p означает,
скажем, "Погода сегодня дождливая", то -p станет высказыванием: "Неверно, что погода сегодня
дождливая". Представьте себе далее, что высказывание p истинно (на улице, в самом деле, идет
дождь). Тогда его отрицание -p ("Неверно, что погода дождливая") будет, очевидно, ложным выска-
зыванием. Если же дождя нет, то есть высказывание p ложно, тогда, наоборот, истинным будет его
отрицание. В результате приложения к исходной мысли этого логического союза образуется выска-
зывание, истинность которого меняется на противоположную. Поэтому в таблице 1 против p со зна-
чением 1 в колонке для -p стоит 0, а против p со значением 0 - 1.
                                                                                           Таблица 1

                p     q    -p p /\ q      p \/ q  p↓q   p => q    pÙq
                1     1    0     1        1       0     1         1
                0     1    1     0        1       1     1         0
                1     0    -     0        1       1     0         0
                0     0    -     0        0       0     1         1
Особенностью отрицания в символической логике является то, что двойное отрицание само себя
нейтрализует. Так что всегда справедливо выражение:

-(-A) = A   (1)

Знак эквивалентности говорит только о том, что выражения взаимозаменимы: высказывание с двумя
отрицаниями равносильно тому же высказыванию без отрицания.
Конъюнкция. Следующее сложное высказывание, конъюнкция, представляет собой соединение двух
и более высказываний с помощью союза "и". В языке этому соответствуют выражения, содержащие
"и", "но", "также", "зато", "хотя" и т.д. Ее обозначение чаще всего такое: p /\ q; читается: p и q. До-
пустим, у нас имеется высказывание с союзом "и": "Поезд следует до Москвы и отходит через пятна-
дцать минут". Мы можем разбить его на две части, обозначив каждую часть соответственно буквами
p и q: "Поезд следует до Москвы" (p) и "Поезд отходит через пятнадцать минут" (q). И тогда наше
первоначальное высказывание может быть записано в виде приведенной формулы. Нам осталось
только разобраться с колонкой для конъюнкции в таблице истинности.
В первой строке берется случай, когда оба простых высказывания истинны. Как это понимать?
Предположим, нам передали вот эту самую информацию о поезде на Москву и времени его отправ-
ления. И если мы затем выясним, что и первая, и вторая части этого сообщения соответствуют дей-
ствительности, то есть высказывания "Поезд следует до Москвы" и "Поезд отправляется через пят-
надцать минут" оба истинны (p=1; q=1), то, очевидно, и всю информацию в целом мы тоже оценим
как истинную. Это и отмечается в колонке для конъюнкции (первая строка) единицей. Теперь разбе-


                                                  86