Практикум по алгебре. Часть 2. Линейные пространства. Попов В.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

R
4
a
1
= (−1, 0, 1, 0), a
2
= (−3, 2, 0, 1),
a
3
= (2, −2, 1, −1), a
4
= (0, 2, −3, 1)
b
1
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
; b
2
= a
1
+ a
2
+ 2a
3
+ a
4
;
b
3
= 3a
1
+ a
2
+ 3a
3
+ 2a
4
; b
4
= a
1
− a
2
− a
3
+ a
4
;
b
5
= λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ λ
3
a
3
+ λ
4
a
4
, λ
i
∈ R i.
b
1
) a
4
a
1
, a
2
, a
3
; b
2
) a
3
a
1
, a
2
, a
4
;
b
3
) a
4
a
1
, a
2
; b
4
) a
3
a
1
, a
2
.
x a
1
+2a
2
+3a
3
+4a
4
+x
λ
1
, λ
2
, λ
3
, λ
4
λ
1
a
1
+
λ
2
a
2
+ λ
3
a
3
+ λ
4
a
4
λ
1
λ
2
λ
3
λ
4
e
1
) λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ λ
3
a
3
+ λ
4
a
4
= 0; e
2
) λ
3
a
3
+ λ
4
a
4
= a
1
;
e
3
) λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
= (−15, 8, 3, 4); e
4
) λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ λ
3
a
3
= 0.
R
5
(1, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 1)
(0, 1, 1, 1, 1) (0, 0, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 1, 2)
a b c
αa +βb +γc = 0 α, β, γ
Çàäà÷è.
1. Äàíû âåêòîðû â R4 a1 = (−1, 0, 1, 0), a2 = (−3, 2, 0, 1),
   a3 = (2, −2, 1, −1), a4 = (0, 2, −3, 1).

  a) Âû÷èñëèòå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè âåêòîðîâ:
    b1 = a1 + a2 + a3 + a4 ;             b2 = a1 + a2 + 2a3 + a4 ;
    b3 = 3a1 + a2 + 3a3 + 2a4 ;          b4 = a1 − a2 − a3 + a4 ;
    b5 = λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 + λ4 a4 , ãäå λi ∈ R ïðè âñåõ i.

  b) Âûðàçèòå âåêòîð â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè äðóãèõ
  âåêòîðîâ:
          b1 ) a4 ÷åðåç a1 , a2 , a3 ; b2 ) a3 ÷åðåç a1 , a2 , a4 ;
          b3 ) a4 ÷åðåç a1 , a2 ;      b4 ) a3 ÷åðåç a1 , a2 .
  c) Íàéäèòå âåêòîð x èç óðàâíåíèÿ a1 +2a2 +3a3 +4a4 +x=0.

  d) Óêàæèòå âñå íàáîðû ÷èñåë λ1 , λ2 , λ3 , λ4 òàêèõ, ÷òî λ1 a1 +
  λ2 a2 + λ3 a3 + λ4 a4 =0 .

  e) Çàïèøèòå ñëåäóþùèå óñëîâèÿ â âèäå ñèñòåì ëèíåéíûõ
  óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ λ1 , λ2 , λ3 , λ4 è ðåøè-
  òå èõ:
  e1 ) λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 + λ4 a4 = 0; e2 ) λ3 a3 + λ4 a4 = a1 ;
  e3 ) λ1 a1 + λ2 a2 = (−15, 8, 3, 4);    e4 ) λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 = 0.

2. Îïèøèòå ëèíåéíûå îáîëî÷êè ñëåäóþùèõ ñèñòåì âåêòîðîâ
   â ïðîñòðàíñòâå R5 :

  a) (1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1);
  b) (0, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 2).
3. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè òðè âåêòîðà a, b, c ñâÿçàíû ìåæäó ñî-
   áîé ñîîòíîøåíèåì αa + βb + γc = 0, ãäå α, β, γ  íåíóëåâûå

                                    10

Страницы