Практикум по алгебре. Часть 2. Линейные пространства. Попов В.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

0 · a = 0
k · 0 = 0
ka = 0 k = 0 a = 0
L
P n ≥ 2
(k
1
+ k
2
+ ... + k
n
)a = k
1
a + k
2
a + ... + k
n
a
k
1
, k
2
, ..., k
n
∈ P a ∈ L
k(a
1
+ a
2
+ ... + a
n
) = ka
1
+ ka
2
+ ... + ka
n
k a
1
, a
2
, ..., a
n
∈ L
L P
a, b ∈ L
k, l ∈ P
ka = la a 6= 0 k = l
ka = kb k 6= 0 a = b
(k + l )( a + b) = ka + kb + la + lb
ka + lb = la + kb k = l
a = b
a−b a b x
b+x = a
a b a −b
a + (−1) · b
L a
1
a
2
. . . a
m
k
1
k
2
. . . k
m
c) 0 · a = 0 ;
d) k · 0 = 0;
e) åñëè ka = 0, òî k = 0 èëè a = 0.
Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü L  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïî-
ëåì P , n ≥ 2  íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òîãäà:
a) (k1 + k2 + ... + kn )a = k1 a + k2 a + ... + kn a äëÿ ëþáûõ ñêàëÿðîâ
k1 , k2 , ..., kn ∈ P è ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L ;
b) k(a1 + a2 + ... + an ) = ka1 + ka2 + ... + kan äëÿ ëþáîãî ñêàëÿðà
k è ëþáûõ âåêòîðîâ a1 , a2 , ..., an ∈ L.


   Çàäà÷è.
  1. Ïóñòü L  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì P . Äîêà-
     çàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a, b ∈ L è ëþáûõ ñêàëÿðîâ
     k, l ∈ P âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:

     a) åñëè ka = la è a 6= 0, òî k = l;
     b) åñëè ka = kb è k 6= 0, òî a = b;
     c) (k + l)(a + b) = ka + kb + la + lb;
     d) ka + lb = la + kb òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà k = l èëè
     a = b.
  2. Ðàçíîñòüþ a−b âåêòîðîâ a è b íàçûâàåòñÿ òàêîé âåêòîð x,
     äëÿ êîòîðîãî b+x = a. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ
     a è b âåêòîð a − b ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåíåí è ðàâåí âåêòîðó
     a + (−1) · b.


3 Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ëè-
  íåéíàÿ îáîëî÷êà ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ýêâèâà-
  ëåíòíûå ñèñòåìû âåêòîðîâ
Ïóñòü â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå L çàäàíà ñèñòåìà âåêòîðîâ a1 ,
a2 , . . ., am . Ïóñòü òàêæå k1 , k2 , . . ., km  ïðîèçâîëüíûå ñêàëÿðû.

                                   8

Страницы