Практикум по алгебре. Часть 2. Линейные пространства. Попов В.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

a
1
a
2
. . . a
m
k
1
k
2
. . . k
m
k
1
a
1
+k
2
a
2
+. . .+k
m
a
m
k
i
b L b
a
1
a
2
. . . a
m
k
1
k
2
. . . k
m
b = k
1
a
1
+ k
2
a
2
+ . . . + k
m
a
m
.
a
1
a
2
. . . a
m
L(a
1
, a
2
, . . . , a
m
)
b ∈ L(a
1
, a
2
, . . . , a
m
) ⇐⇒ b = k
1
a
1
+ k
2
a
2
+ . . . + k
m
a
m
k
1
k
2
. . . k
m
•
•
•
•
   Ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ a1 , a2 , . . ., am ñ êîýôôèöè-
åíòàìè k1 , k2 , . . ., km íàçûâàåòñÿ âåêòîð k1 a1 +k2 a2 +. . .+km am .
Åñëè âñå ñêàëÿðû ki ðàâíû íóëþ, òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íà-
çûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíà íåòðèâèàëüíà.
Ïóñòü b  íåêîòîðûé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà L. Ãîâîðÿò, ÷òî b ÿâ-
ëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , a2 , . . ., am ,
åñëè íàéäóòñÿ ñêàëÿðû k1 , k2 , . . ., km , äëÿ êîòîðûõ

                       b = k1 a1 + k2 a2 + . . . + km am .

Ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé äàííîé ñèñòåìû âåêòî-
ðîâ a1 , a2 , . . ., am íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ýòîé ñèñòåìû
è îáîçíà÷àåòñÿ L(a1 , a2 , . . . , am ). Òàêèì îáðàçîì,

  b ∈ L(a1 , a2 , . . . , am )   ⇐⇒        b = k1 a1 + k2 a2 + . . . + km am

äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà k1 , k2 , . . ., km ñêàëÿðîâ.
   Ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ñèñòåìû âåêòîðîâ íàçûâà-
þò îäíî èç ñëåäóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé:

   • äîáàâëåíèå ê êàêîìó-ëèáî âåêòîðó ñèñòåìû äðóãîãî âåêòî-
     ðà, óìíîæåííîãî íà ñêàëÿð;

   • óìíîæåíèå êàêîãî-ëèáî âåêòîðà ñèñòåìû íà íåíóëåâîé ñêà-
     ëÿð;

   • ïåðåñòàíîâêà âåêòîðîâ ñèñòåìû;
   • óäàëåíèå èç ñèñòåìû íóëåâîãî âåêòîðà (åñëè ñèñòåìà ñîäåð-
     æèò è äðóãèå âåêòîðû) èëè äîáàâëåíèå ê ñèñòåìå íóëåâîãî
     âåêòîðà.

   Äâå ñèñòåìû âåêòîðîâ íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè
ëþáîé âåêòîð ïåðâîé ñèñòåìû ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåê-
òîðû âòîðîé ñèñòåìû, à ëþáîé âåêòîð âòîðîé ñèñòåìû ëèíåéíî
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðû ïåðâîé ñèñòåìû. Èíûìè ñëîâàìè,
ëèíåéíûå îáîëî÷êè ýòèõ ñèñòåì âåêòîðîâ äîëæíû ñîâïàäàòü.

                                       9

Страницы