Практикум по алгебре. Часть 2. Линейные пространства. Попов В.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

a
⇐⇒ a = 0
⇐⇒
⇐⇒
S
b b
S
S
0
S
R
n
e
1
= (1, 0, ··· , 0) e
2
= (0, 1, ··· , 0) ··· e
n
= (0, 0, ··· , 1)
f
1
= (1, 1, ··· , 1) f
2
= (0, 1, ··· , 1) ··· f
n
= (0, 0, ··· , 1)
b) Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî âåêòîðà a ëèíåéíî çàâèñèìà
⇐⇒ a = 0.
c) Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ âåêòîðîâ, ëèíåéíî çàâèñèìà
⇐⇒ âåêòîðû ïðîïîðöèîíàëüíû (ò.å. îäèí èç íèõ ïîëó÷àåòñÿ
èç äðóãîãî óìíîæåíèåì íà ñêàëÿð).
d) Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç 3õ âåêòîðîâ òðåõìåðíîãî ïðî-
ñòðàíñòâà ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåê-
òîðû ïàðàëëåëüíû îäíîé ïëîñêîñòè.

Ïðåäëîæåíèå 4.
a) Åñëè ê ëèíåéíî çàâèñèìîé ñèñòåìå äîáàâèòü âåêòîð, òî ïî-
ëó÷èòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà.
b) Åñëè èç ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû óäàëèòü âåêòîð, òî
ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìà.
c) Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ è áîëåå âåêòîðîâ, ëèíåéíî çà-
âèñèìà ⇐⇒ õîòÿ áû îäèí èç âåêòîðîâ ýòîé ñèñòåìû ëèíåéíî
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå.
d) Åñëè ñèñòåìà S ëèíåéíî íåçàâèñèìà, íî ñòàíîâèòñÿ ëèíåé-
íî çàâèñèìîé ïðè äîáàâëåíèè âåêòîðà b, òî âåêòîð b ëèíåéíî
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðû ñèñòåìû S .

Ïðåäëîæåíèå 5. Ïóñòü ñèñòåìà âåêòîðîâ S 0 ïîëó÷åíà èç ñè-
ñòåìû âåêòîðîâ S ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.
Òîãäà îáå ñèñòåìû èëè îäíîâðåìåííî ëèíåéíî íåçàâèñèìû èëè
îäíîâðåìåííî ëèíåéíî çàâèñèìû.


  Çàäà÷è.

  1. Äîêàæèòå, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå Rn ëèíåéíî íåçàâèñèìû ñëå-
     äóþùèå ñèñòåìû âåêòîðîâ:

    a) e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 1);
    b) f1 = (1, 1, · · · , 1), f2 = (0, 1, · · · , 1), · · · , fn = (0, 0, · · · , 1).


                                        12

Страницы