Практикум по алгебре. Часть 2. Линейные пространства. Попов В.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

S
S
0
S
S
0
S
S
0
S
S
S
S
0
S
0
S
a
1
a
2
a
p
b
1
b
2
b
q
p = q
L
L
L dim L
L
n
S ⊂ L
n S L
S ⊂ L n
dim R
n
= n n ≥ 1
5 Ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ. Áàçèñ ñèñòåìû âåê-
  òîðîâ. Ðàçìåðíîñòü âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà
Ïóñòü S  íåêîòîðàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ âåêòîðíîãî ïðîñòðàí-
ñòâà. Áàçèñîì ýòîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ òàêàÿ åå ëèíåéíî íåçà-
âèñèìàÿ ïîäñèñòåìà S0 , ÷òî âñÿêèé âåêòîð èç S ëèíåéíî âûðà-
æàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðû ñèñòåìû S0 .
   Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå: áàçèñ ñèñòåìû âåêòîðîâ S 
ýòî òàêàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà S0 ñèñòåìû S , êîòî-
ðàÿ ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé ïðè äîáàâëåíèè ëþáîãî âåê-
òîðà èç S . ×èñëî âåêòîðîâ (êàêîãî-ëèáî) áàçèñà ñèñòåìû âåêòî-
ðîâ íàçûâàåòñÿ ðàíãîì ýòîé ñèñòåìû.
Ïðåäëîæåíèå 6. Ïóñòü S  íåêîòîðàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ
è S0  åå ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà. Òîãäà S0 ìîæíî
äîïîëíèòü äî áàçèñà ñèñòåìû S .
Ñëåäñòâèå 1. Ëþáîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî èìååò áàçèñ.
Ëåììà 1. Ïóñòü a1 , a2 ,..., ap è b1 , b2 ,...,bq äâà áàçèñà îäíîé
è òîé æå ñèñòåìû âåêòîðîâ. Òîãäà p = q .
   Åñëè â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå L ñóùåñòâóåò áàçèñ èç êî-
íå÷íîãî ÷èñëà âåêòîðîâ, òî ïðîñòðàíñòâî L íàçûâàþò êîíå÷-
íîìåðíûì, à ÷èñëî âåêòîðîâ áàçèñà íàçûâàþò ðàçìåðíîñòüþ
ïðîñòðàíñòâà L (è îáîçíà÷àþò dim L).
Ïðåäëîæåíèå 7. Ïóñòü L  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ðàç-
ìåðíîñòè n. Òîãäà:
a) åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ S ⊂ L ëèíåéíî íåçàâèñèìà è ñîñòî-
èò èç n âåêòîðîâ, òî S  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà L;
b) ëþáàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ S ⊂ L, ñîñòîÿùàÿ áîëåå ÷åì èç n
âåêòîðîâ, ëèíåéíî çàâèñèìà.
Ïðåäëîæåíèå 8. dim Rn = n ïðè ëþáîì n ≥ 1.
Ëåììà 2. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåìû âåêòîðîâ
íå èçìåíÿþò ðàíãà ýòîé ñèñòåìû.

                                15

Страницы