Практикум по алгебре. Часть 2. Линейные пространства. Попов В.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

R
n
a
1
a
2
··· a
p
p n
i a
i
i = 1, 2, ··· , p
a
1
a
2
··· a
p
A
A B
a
1
a
2
··· a
p
B
p = n a
1
a
2
··· a
p
R
n
⇐⇒ |A| 6= 0
r a
1
. . . a
n
b
a
1
. . . a
n
b ∈ L(a
1
, . . . , a
n
) r = n
b
a
1
. . . a
n
R
3
(1, 1, 1) (1, 1, 1) (0, 1, 1) (0, 0, 1)
(1, 1, 1) (0, 1, 1) (1, 0, 1)
(1, 2, 3) (3, 2, 1) (1, 1, 1)
(1, −2, −2) (1, 5, −3) (−1, −5, 5)
(1, 2, 7) (−2, −4, −8) (0, 0, 0)
R
3
(λ, 1, 0) (1, λ, 1) (0, 1, λ)
Ïðåäëîæåíèå 9. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå Rn çàäàíà ñèñòåìà
âåêòîðîâ a1 , a2 , · · · , ap è ìàòðèöà ñ p ñòðîêàìè è n ñòîëá-
öàìè, i-ÿ ñòðîêà êîòîðîé ñîñòîèò èç êîìïîíåíò âåêòîðà ai ,
i = 1, 2, · · · , p.
a) Òîãäà ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , a2 , · · · , ap ñîâïàäàåò ñ ðàí-
ãîì ìàòðèöû A.
b) Ïóñòü ìàòðèöà A ïîäîáíà ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöå B . Òîãäà
ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , a2 , · · · , ap ðàâåí ÷èñëó íåíóëåâûõ
ñòðîê ìàòðèöû B .
ñ) Ïóñòü p = n. Ñèñòåìà a1 , a2 , · · · , ap ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðî-
ñòðàíñòâà Rn ⇐⇒ |A| 6= 0.
Ïðåäëîæåíèå 10. Ðàíã r ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , . . ., an , b ñîâ-
ïàäàåò ñ ðàíãîì ñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , . . ., an òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà b ∈ L(a1 , . . . , an ). Åñëè ïðè ýòîì r = n, òî âåêòîð
b åäèíñòâåííûì îáðàçîì âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáè-
íàöèè âåêòîðîâ a1 , . . ., an .



   Çàäà÷è.

  1. Êàêèå èç ñëåäóþùèõ ñèñòåì âåêòîðîâ ñîñòàâëÿþò áàçèñ
     ïðîñòðàíñòâà R3 :

       a) (1, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1);
      b) (1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1);
       c) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1);
      d) (1, −2, −2), (1, 5, −3), (−1, −5, 5);
       e) (1, 2, 7), (−2, −4, −8), (0, 0, 0)?

  2. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñëåäóþùèå ñèñòåìû âåê-
     òîðîâ îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà R3 :

       a) (λ, 1, 0), (1, λ, 1), (0, 1, λ);

                                      16

Страницы