Практикум по алгебре. Часть 2. Линейные пространства. Попов В.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

L
L
0
L
0
R
3
{0} L
L
L(a
1
, a
2
, ..., a
k
)
a
1
a
2
··· a
k
n
S
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) n
R
n
x
1
x
2
. . . x
n
S R
n
L
0
L ⇐⇒
x, y ∈ L
0
x + y ∈ L
0
x ∈ L
0
k kx ∈ L
0
òîðíûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ âåê-
òîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ñêàëÿð, îïðåäåëåííûõ âî âñåì
ïðîñòðàíñòâå L.

  Ïðèìåðû.
  1. Ïóñòü â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå çàôèêñèðîâàíà íåêîòî-
     ðàÿ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, è L0
      ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, ëåæàùèõ â ýòîé ïëîñêîñòè. Òîãäà
     L0  ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà âåêòîðîâ â R3 .
  2. Ïîäìíîæåñòâî {0} ïðîèçâîëüíîãî ïðîñòðàíñòâà L, ñîñòî-
     ÿùåå òîëüêî èç íóëåâîãî âåêòîðà, ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàí-
     ñòâîì ïðîñòðàíñòâà L. Îíî íàçûâàåòñÿ íóëåâûì ïîäïðî-
     ñòðàíñòâîì .
  3. Ïðîèçâîëüíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ñâîèì ïîäïðîñòðàí-
     ñòâîì.
  4. Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà L(a1 , a2 , ..., ak ) ëþáîé ñèñòåìû âåêòî-
     ðîâ a1 , a2 , · · · , ak ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì.
  5. Ïóñòü çàäàíà ñèñòåìà îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n
     íåèçâåñòíûìè. Ïóñòü S  ìíîæåñòâî òåõ âåêòîðîâ
     (x1 , x2 , . . . , xn ) n-ìåðíîãî àðèôìåòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà
     Rn , äëÿ êîòîðûõ x1 , x2 , . . ., xn ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû.
     Òîãäà S  ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà Rn .

Ïðåäëîæåíèå 16. Íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî L0 âåêòîðíîãî ïðî-
ñòðàíñòâà L ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ⇐⇒ âûïîëíåíû
ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
a) åñëè x, y ∈ L0 , òî x + y ∈ L0 ;
b) åñëè x ∈ L0 è k  ïðîèçâîëüíûé ñêàëÿð, òî kx ∈ L0 .
Ïðåäëîæåíèå 17. Ïåðåñå÷åíèå äâóõ (è áîëüøåãî ÷èñëà) ïîä-
ïðîñòðàíñòâ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàí-
ñòâîì.

                                24

Страницы