Практикум по алгебре. Часть 2. Линейные пространства. Попов В.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

⇐⇒
L
1
L
2
L
L
0
= {x
1
+ x
2
: x
1
∈ L
1
, x
2
∈ L
2
}
L L
0
L
L
0
= L
1
+ L
2
.
dim(L
1
+ L
2
) = dim(L
1
) + dim(L
2
) − dim(L
1
∩ L
2
).
L
1
L
2
L
1
+ L
2
L
1
⊕ L
2
L
1
L
2
L L = L
1
⊕L
2
⇐⇒
x ∈ L x =
x
1
+ x
2
x
1
∈ L
1
, x
2
∈ L
2
x ∈ L
x = x
1
+ x
2
x
1
∈ L
1
, x
2
∈ L
2
dim(L
1
+ L
2
) = dim(L
1
) + dim(L
2
).
R
n
(x
1
, . . . , x
n
) ∈ R
n
x
1
− x
2
− . . . − x
n
= 0; x
1
+ . . . + x
n
= 1;
x
1
x
n
= 1; 0x
1
+ . . . + 0x
n
= 0;
x
2
1
− x
2
n
= 0; x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
= 0;
x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n−1
= 0; α
1
x
1
+ . . . + α
n
x
n
= 0,
Çàìå÷àíèå. Îáúåäèíåíèå äâóõ ïîäïðîñòðàíñòâ ÿâëÿåòñÿ ïîä-
ïðîñòðàíñòâîì ⇐⇒ îäíî èç íèõ ñîäåðæèòñÿ â äðóãîì.
   Ïóñòü L1 è L2  äâà ïîäïðîñòðàíñòâà íåêîòîðîãî ïðîñòðàí-
ñòâà L. Èõ ñóììîé íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî
                L0 = {x1 + x2 : x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2 }
ïðîñòðàíñòâà L. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî L0  ïîäïðîñòðàíñòâî
ïðîñòðàíñòâà L. Ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ çàïèñûâàåòñÿ òàê:
                            L0 = L1 + L2 .
Ïðåäëîæåíèå 18.
      dim(L1 + L2 ) = dim(L1 ) + dim(L2 ) − dim(L1 ∩ L2 ).
   Åñëè ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâ L1 è L2 ñîñòîèò òîëüêî èç
íóëåâîãî âåêòîðà, òî ñóììà L1 + L2 íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé
è îáîçíà÷àåòñÿ L1 ⊕ L2 .
Ïðåäëîæåíèå 19. Ïóñòü L1 è L2  äâà ïîäïðîñòðàíñòâà
íåêîòîðîãî ïðîñòðàíñòâà L. Òîãäà L = L1 ⊕ L2 ⇐⇒ âûïîëíÿ-
åòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
a) êàæäûé âåêòîð x ∈ L îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèì â âèäå x =
x1 + x2 , ãäå x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2 ;
b) ñóùåñòâóåò âåêòîð x ∈ L îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèìûé â âèäå
x = x1 + x2 , ãäå x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2 ;
ñ) dim(L1 + L2 ) = dim(L1 ) + dim(L2 ).

  Çàäà÷è.
  1. ßâëÿåòñÿ ëè ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà Rn ìíîæå-
     ñòâî âñåõ âåêòîðîâ (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , óäîâëåòâîðÿþùèõ
     äàííîìó óñëîâèþ:

       a) x1 − x2 − . . . − xn = 0;        e) x1 + . . . + xn = 1;
       b) x1 xn = 1;                       f) 0x1 + . . . + 0xn = 0;
       c) x21 − x2n = 0;                   g) x21 + x22 + · · · + x2n = 0;
       d) x21 + x22 + · · · + x2n−1 = 0;   h) α1 x1 + . . . + αn xn = 0,

                                   25

Страницы