Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Попова Г.К - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Ответ: .
0
1
1
=
=
=
z
y
x
5. Найти все решения системы по формуле Крамера:
=++
=−+
143
2325
zyx
zyx
(*)
Составим основную матрицу
=
1 4 3
3- 2 5
A и расширенную
=
′
1 1 4 3
2 3- 2 5
A .
По определению ранга
2 =
′
= ArangArang , т.к.
014620
4 3
2 5
2
≠=−==M .
По теореме Кранекера-Капелли система совместна и имеет множество
решений, т.к. 2=ran
g
, а число неизвестных 3.
()
32 ≠ . Если 2=ran
g
, то это
означает, что базисных неизвестных в системе две (x и y), тогда z – свободное
неизвестное, которое принимает любое значение на множестве R.
Пусть z=a, тогда перепишем систему (*):
−=+
∈+=+
ayx
Raayx
143
. где ,3225
Эта система имеет единственное решение, которое найдём по формулам
Крамера:
.1149655)32(3)1(5
-1 3
32 5
,61422128)1(2)32(4
4 1
2 32
,14620
4 3
2 5
где
, ,
2
1
21
−−=−−−=+−−=
+
=∆
+=+−+=−−+=
−
+
=∆
=−==∆
∆
∆
=
∆
∆
=
aaaaa
a
a
aaaaa
a
a
yx
Найдём все решения системы: 
         x = 1
         
Ответ:  y = 1 .
         z = 0
         
     5. Найти все решения системы по формуле Крамера:
  5 x + 2 y − 3 z = 2
                        (*)
  3 x + 4 y + z = 1
                                                     5 2 - 3
Составим         основную         матрицу      A =           и расширенную
                                                     3 4  1   
       5 2 - 3 2
A′ =               .
       3 4 1 1
По определению ранга
                                     5 2
rang A = rang A′ = 2 , т.к. M 2 =         = 20 − 6 = 14 ≠ 0 .
                                     3 4
По теореме Кранекера-Капелли система совместна и имеет множество
решений, т.к. rang = 2 , а число неизвестных 3. (2 ≠ 3) . Если rang = 2 , то это
означает, что базисных неизвестных в системе две (x и y), тогда z – свободное
неизвестное, которое принимает любое значение на множестве R.
     Пусть z=a, тогда перепишем систему (*):
5 x + 2 y = 2 + 3a, где a ∈ R.

3 x + 4 y = 1 − a
Эта система имеет единственное решение, которое найдём по формулам
Крамера:
     ∆          ∆
x= 1, y= 2,
     ∆           ∆
             5 2
  где ∆ =          = 20 − 6 = 14,
             3 4
             2 + 3a   2
      ∆1 =              = 4(2 + 3a ) − 2(1 − a ) = 8 + 12a − 2 + 2a = 14a + 6,
             1− a     4
             5   2 + 3a
      ∆2 =              = 5(1 − a) − 3(2 + 3a ) = 5 − 5a − 6 − 9a = −14a − 1.
             3   1- a

Найдём все решения системы:

Страницы