Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Попова Г.К - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

ij
ji
ij
MA ⋅−=
+
)1( - минор элемента
ij
a матрицы
A
.
.27)154(1)214(2)75(1 −=++−−−−−=A
Матрица
A имеет
1−
A
- обратную, т.е. .
1
E
A
A
=⋅
−
Решаем матричное уравнение (2), умножим для этого обе части уравнения на
1−
A
-слева, получим ,
11
BAXAA ⋅=⋅⋅
−−
т.к.
E
A
A
=⋅
−1
и
X
X
E
=⋅
, то
B
A
X
⋅=
−1
(3)- формула решения матричного уравнения (2).
Найдём
1−
A
=
⋅
332313
322212
312111
1
AAA
AAA
AAA
A
- обратную матрицу для матрицы
,
1 1 3
7 5 4
1 2 1
−−
=A где
ij
ji
ij
MA ⋅−=
+
)1( ;
1275
1- 1
7 5
11
−=−−=+=A 3
1- 1
1 2
21
=−=A 9
7 5
1 2
31
=+=A
17)214(
1- 3-
7 4
12
−=+−−=−=A 3
1- 3-
1 1
22
=+=A 3
7 4
1 1
32
−=−=A
19154
1 3-
5 4
13
=+=+=A
7
1 3-
2 1
23
−=−=A
3
5 4
2 1
33
−=+=A
−
⋅=
−
−
3- 7- 19
3- 2 17-
9 3 12
27
1
1
A
Запишем решение (3) уравнения в матричной форме:
−
⋅
−
⋅−=
2
9
3
3- 7- 19
3- 2 17-
9 3 12
27
1
z
y
x
()
1
27
27
)2(993312
27
1
+=
−
−
=−⋅+⋅+⋅−⋅−=x , 1+=
x
()
1
27
27
)2()3(92317
27
1
+=
−
−
=−⋅−+⋅+⋅−⋅−=y , 1+=y
()
0
27
0
)2()3(9)7(319
27
1
=
−
=−⋅−+⋅−+⋅⋅−=z , 0=z
+
+
=
0
1
1
x . 
Aij = (−1) i + j ⋅ M ij - минор элемента aij матрицы A .
A = 1(−5 − 7) − 2(−4 − 21) + 1(4 + 15) = −27.
       Матрица A имеет A −1 - обратную, т.е. A −1 ⋅ A = E.
Решаем матричное уравнение (2), умножим для этого обе части уравнения на
                        −1          −1
A −1 -слева, получим A ⋅ A ⋅ X = A ⋅ B, т.к. A −1 ⋅ A = E и E ⋅ X = X , то
X = A −1 ⋅ B (3)- формула решения матричного уравнения (2).
                              A11 A21 A31 
                          1                     
     Найдём A −1 = ⋅  A12 A22 A32  - обратную матрицу для матрицы
                          A                     
                             A A
                              13 23 A33 
                 1 2 1
                            
         A =  4 5 7 ,                где Aij = (−1) i + j ⋅ M ij ;
                 − 3 1 − 1
                            
         5 7                                              2 1                  2 1
A11 = +            = −5 − 7 = −12               A21 = −           =3  A31 = +       =9
         1 -1                                            1 -1                 5 7
          4 7                                             1 1                 1 1
A12 = −            = −(−4 + 21) = −17          A22 = +            =3  A32 = −      = −3
         - 3 -1                                          - 3 -1               4 7
         4 5                                             1 2                  1 2
A13 = +            = 4 + 15 = 19               A23 = −           = −7 A33 = +      = −3
         -3 1                                            -3 1                 4 5
               − 12 3 9 
                              
A −1 = −127 ⋅  - 17 2 - 3 
               19 - 7 - 3 
                              
     Запишем решение (3) уравнения в матричной форме:
x               − 12 3 9   3 
         1                           
 y
   = −       ⋅  - 17   2  - 3   ⋅
                                      9 
z       27                           
                19 - 7 - 3   − 2 
       1                                      − 27
x = − ⋅ (− 12 ⋅ 3 + 3 ⋅ 9 + 9 ⋅ (−2) ) =             = +1 , x = +1
       27                                     − 27
        1                                          − 27
y = − ⋅ (− 17 ⋅ 3 + 2 ⋅ 9 + (−3) ⋅ (−2) ) =              = +1, y = +1
       27                                          − 27

       1                                          0
z=−       ⋅ (19 ⋅ 3 + (−7) ⋅ 9 + (−3) ⋅ (−2) ) =      = 0, z = 0
      27                                         − 27
     + 1
     
x =  + 1 .
    0 
     

Страницы