Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Попова Г.К - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
2.
Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
3.
Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы:
А) перестановка строк (столбцов);
Б) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
В) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов
другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.
Найдем ранг основной матрицы
=
0 3 2
10- 5 0
7 1 3
5 4- 1-
4- 2 0
A
.
Для этого выполним следующие элементарные преобразования:
1)
переставим первую и вторую строки матрицы;
2)
переставим вторую и пятую строки матрицы;
3)
прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы первой
строки, умноженные на два, а к элементам третьей строки прибавим
соответствующие элементы первой строки, умноженные на три;
4)
умножим элементы второй строки на
5
1
, элементы третьей строки на
−
11
1
,элементы четвертой строки на
5
1
, элементы пятой строки на
2
1
;
5)
Прибавим элементы второй строки к соответствующим элементам
третьей, четвертой и пятой строк:
0 3 2
10- 5 0
7 1 3
5 4- 1-
4- 2 0
~
0 3 2
10- 5 0
7 1 3
4- 2 0
5 4- 1-
~
4- 2 0
10- 5 0
7 1 3
0 3 2
5 4- 1-
~
4- 2 0
10- 5 0
22 11- 0
10 5- 0
5 4- 1-
~
2- 1 0
2- 1 0
2- 1 0
2 1- 0
5 4- 1-
~
~
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2 1- 0
5 4- 1-
, т.е.
A
~
−
2 1- 0
5 4- 1
.
Таким образом, ранг матрицы
A
равен 2)( =
A
r
. 
 1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
 2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы:
    А) перестановка строк (столбцов);
    Б) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
    В) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов
 другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.
                                         0 2 -4
                                                   
                                         - 1 - 4 5 
                                                   
     Найдем ранг основной матрицы A =  3 1 7  .
                                         0 5 - 10 
                                         2 3 0 
                                                   
     Для этого выполним следующие элементарные преобразования:
   1) переставим первую и вторую строки матрицы;
   2) переставим вторую и пятую строки матрицы;
   3) прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы первой
строки, умноженные на два, а к элементам третьей строки прибавим
соответствующие элементы первой строки, умноженные на три;
                                              1
   4) умножим элементы второй строки на , элементы третьей строки на
                                              5
 1                               1                          1
 −  ,элементы четвертой строки на , элементы пятой строки на ;
 11                              5                          2
    5) Прибавим элементы второй строки к соответствующим элементам
третьей, четвертой и пятой строк:
 0 2 - 4  -1 - 4 5  -1 - 4 5  -1 - 4 5  -1 - 4 5 
                                                     
 - 1 - 4 5   0 2 - 4   2 3 0   0 - 5 10   0 - 1 2 
 3 1 7  ~  3 1 7  ~  3 1 7  ~  0 - 11 22  ~  0 1 - 2  ~
                                                     
 0 5 - 10   0 5 - 10   0 5 - 10   0 5 - 10   0 1 - 2 
 2 3 0   2 3 0   0 2 - 4   0 2 - 4   0 1 - 2
                                                     
     -1 - 4 5 
               
      0 - 1  2 
                           −1 - 4 5
~      0 0 0  , т.е. A ~             .
                           0  - 1 2  
      0 0 0
      0 0 0
               
Таким образом, ранг матрицы A равен r ( A) = 2 .

Страницы