Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Попова Г.К - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Найдём ранг расширенной матрицы
=
5 0 3 2
5 10- 5 0
4 7 1 3
5- 5 4- 1-
2 4- 2 0
A .
Выполним аналогичные элементарные преобразования:
5 0 3 2
5 10- 5 0
4 7 1 3
5- 5 4- 1-
2 4- 2 0
~
2 4- 2 0
5 10- 5 0
4 7 1 3
5 0 3 2
5- 5 4- 1-
~
2 4- 2 0
5 10- 5 0
11- 22 1 1- 0
5- 10 5- 0
5- 5 4- 1-
~
2 4- 2 0
5 10- 5 0
11- 22 1 1- 0
5- 10 5- 0
5- 5 4- 1-
~
~
1 2- 2 0
1 2- 5 0
1 2- 1 0
1- 2 1- 0
5- 5 4- 1-
~
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1- 2 1- 0
5- 5 4- 1-
, т.е.
A
~
−
1- 2 1- 0
5- 5 4- 1
.
Таким образом, ранг матрицы
A
равен
2)( =Ar
. Так как =)(
A
r
2)( =Ar
,
то исходная система совместна. Поскольку ранг совместной системы меньше
числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
4.) Решить систему линейных уравнений 2-мя способами.
.
23
9754
32
−=−+−
=++
=++
zyx
zyx
zyx
(1)
А) Матричный способ
Составим матрицы: из коэффициентов при неизвестных, из свободных
членов, из неизвестных:
=
1- 1 3-
7 5 4
1 2 1
A ,
=
2-
9
3
B ,
=
z
y
x
X
.
Тогда в левой части системы (1) стоит матрица
X
A
⋅ , в правой – мат-
рица
В, т.е.
X
A
⋅ =В –матричное уравнение (2).
Матрица
А имеет обратную матрицу, если .0≠A Найдём =A
1- 1 3-
7 5 4
1 2 1
=
=
131211
121 AAA ⋅+⋅+⋅
(по теореме Лапласа)=1
1 3-
5 4
1
1- 3-
7 4
2
1- 1
7 5
⋅+⋅−
, т.к. 
                                              0 2 -4 2
                                                              
                                              - 1 - 4  5  - 5 
                                             
       Найдём ранг расширенной матрицы A = 3 1 7 4  .
                                                              
                                              0 5 - 10 5 
                                             2 3 0 5
                                                              
       Выполним аналогичные элементарные преобразования:
 0 2 - 4 2  -1 - 4 5 - 5  -1 - 4 5 - 5  -1 - 4 5 - 5 
                                                                  
 - 1 - 4 5 - 5   2 3 0 5   0 - 5 10 - 5   0 - 5 10 - 5 
 3 1 7 4  ~  3 1 7 4  ~  0 - 11 22 - 11  ~  0 - 11 22 - 11  ~
                                                                  
 0 5 - 10 5   0 5 - 10 5   0 5 - 10 5   0 5 - 10 5 
 2 3 0 5   0 2 -4 2   0 2 -4 2   0 2 -4 2 
                                                                  
  -1 - 4 5 - 5  -1 - 4 5 - 5 
                                 
   0 -1 2 -1   0 -1 2 -1 
                                             − 1 - 4 5 - 5
~  0 1 - 2 1  ~  0 0 0 0  , т.е. A ~                       .
                                         0 -1 2 -1 
   0 5 -2 1   0 0 0 0 
   0 2 -2 1  0 0 0 0 
                                 
       Таким образом, ранг матрицы A равен r ( A ) = 2 . Так как r ( A) = r ( A ) = 2 ,
то исходная система совместна. Поскольку ранг совместной системы меньше
числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
       4.) Решить систему линейных уравнений 2-мя способами.
 x + 2y + z = 3

 4 x + 5 y + 7 z = 9 . (1)
− 3 x + y − z = −2

    А) Матричный способ
Составим матрицы: из коэффициентов при неизвестных, из свободных
членов, из неизвестных:
       1 2 1           3         x
                                  
A =  4 5 7 , B =  9 ,       X =  y.
       - 3 1 - 1        - 2      z 
                                  
       Тогда в левой части системы (1) стоит матрица A ⋅ X , в правой – мат-
рица В, т.е. A ⋅ X =В –матричное уравнение (2).
                                                                       1 2 1
Матрица А имеет обратную матрицу, если A ≠ 0. Найдём                 A= 4 5 7 =
                                                                          - 3 1 -1
                                                    5 7        4 7         4 5
=1 ⋅ A11 + 2 ⋅ A12 + 1 ⋅ A13 (по теореме Лапласа)=1      − 2⋅        + 1⋅      , т.к.
                                                    1 -1      - 3 -1      -3 1

Страницы