Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Попова Г.К - 5 стр.

    Для вычисления его воспользуемся свойством определителя,
позволяющим получить в 1-м столбце нули для элементов a31 и a 41 .
    Для этого элементы 1-й строки умножим на (-3) и сложим с
соответствующими элементами 3-й строки. Затем элементы 1-й строки
умножим на (-2) и сложим с элементами 4-й строки, величина определителя
при этом не изменится.
1 1 2 1 1 1 2 1
0 5 1 2 0 5 1 2
       =
3 2 1 0 0 -1 - 5 - 3
 2 -1 4 1 0 - 3 0 -1
     По теореме Лапласа определитель есть сумма произведений элементов
любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Полученный
определитель раскладываем по элементам первого столбца.
1 1 2 1 1 1 2 1
                            5 1 2              1 2 1           1 2 1      1 2 1
 0 5 1 2 0 5 1 2
           =          =1 ⋅ - 1 - 5 - 3 − 0 ⋅ - 1 - 5 - 3 + 0 ⋅ 5 1 2 -0 ⋅ 5 1 2 =
3 2 1 0 0 -1 - 5 - 3
                           - 3 0 -1          - 3 0 -1          - 3 0 -1  -1 - 5 - 3
 2 -1 4 1 0 - 3 0 -1
   5 1 2
= -1 - 5 - 3
  - 3 0 -1
      Полученный определитель разложим по теореме Лапласа по элементам
первой строки.
 5 1 2
               −5 -3    −1 - 3    −1 - 5
- 1 - 5 - 3 =5       −1        +2        = 5 ⋅ (5 − 0) − 1 ⋅ (1 − 9) + 2 ⋅ (0 − 15) =
               0 -1     - 3 -1    -3 0
- 3 0 -1
=25+8-30=3.
     3. Исследовать систему:
       2 x 2 − 4 x3 = 2
− x − 4 x + 5 x = −5
 1           2      3

  3 x1 + x 2 + 7 x3 = 4
         5 x 2 − 10 x3 = 5
 
  2 x1 + 3 x 2        =5
        Система называется совместной, если у нее существует по крайней мере
одно решение, в противном случае она называется несовместной.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений
совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы
равен рангу основной матрицы.
        Свойства ранга матрицы: