ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
23
)11.1 пример .см( .cx6sin
12
1
x
2
1
cx6sin
6
1
2
1
x
2
1
x6cos
2
1
dx
2
1
dx
2
x6cos1
xdx3cos .4
2
++=
=+⋅+=+=
+
=
∫∫∫∫
)6.1 пример и )3( .см( .cxcosln
xtgxtgxdxxtgx
tgx
xcos
dx
v ,
xcos
dx
dv
dxdu ,xu
xcos
xdx
.5
22
2
++
+=−=
===
==
=
∫
∫
∫
()
.cxsin2lnctln
t
dt
xdxcosdt
xsin2t
dx
xsin2
xcos
.6 ++=+==
=
+
=
=
+
∫∫
(
)
xdx2dt
xt
x2
xdx
x4
xdx
.7
2
2
0
2
22
2
0
4
=
=
=
+
=
+
∫∫
х -1
2
t 1 2
∫
=
+
=
2
0
22
t2
dt
2
1
()
.
16
0
44
1
0arctg1arctg
4
1
2
t
arctg
2
1
2
1
2
0
π
=
−
π
=−=⋅=
§ 6.
Материал для самоконтроля.
Вычислить интегралы:
1.
(
)
∫
+++ dx1xx3x
32
. Ответ: cx
2
x
4
x3
3
x
243
++++ .
2.
∫
++++ dx
x
1
x
1
x3xx
2
5
4
. Ответ: cxln
x
1
xx2xx
6
5
5
x
5
5
++−++ .
3.
∫
+ dx
2
x
cos
2
x
sin
2
. Ответ:
cxcosx
+
−
.
4.
∫
dx
2
x
sin
2
. Ответ:
()
cxsinx
2
1
+− .
5.
∫
dxe
x2
. Ответ: ce
2
1
x2
+ .
1 + cos 6 x 1 1 1 1 1
∫ cos ∫ ∫ ∫
2
4. 3 xdx = dx = dx + cos 6 x = x + ⋅ sin 6 x + c =
2 2 2 2 2 6
1 1
= x + sin 6 x + c. (см. пример 1.11)
2 12
u = x,
du = dx
xdx
5. ∫ =
cos 2 x dv =
dx
, v =
dx
= tgx
= xtgx − tgxdx = xtgx +
∫ ∫
cos 2 x cos 2 x
+ ln cos x + c. (см. (3) и пример 1.6)
cos x t = 2 + sin x dt
6. ∫ 2 + sin x dx = dt = cos xdx = ∫ = ln t + c = ln(2 + sin x ) + c.
t
2 2 х -1 2 2
xdx xdx t = x2 1 dt
7. ∫ 4 + x 4 = ∫ 22 + (x 2 )2 =
dt = 2xdx t 1 2
= ∫
2 22 + t 2
=
0 0 0
2
1 1 t 1 1 π π
= ⋅ arctg = (arctg1 − arctg0 ) = − 0 = .
2 2 20 4 44 16
§ 6. Материал для самоконтроля.
Вычислить интегралы:
∫ (x )
2 3 x 3 3x 4 x 2
1. + 3 x + x + 1 dx . Ответ: + + + x +c.
3 4 2
4 5 1 1 x5 5 5 1
2. ∫
x + x + 3 x +
x 2
+
x
dx . Ответ:
5
+
6
x x + 2 x x −
x
+ ln x + c .
2
x x
3. ∫ sin + cos dx .
2 2
Ответ: x − cos x + c .
x 1
4. ∫ sin
2
dx . Ответ: (x − sin x ) + c .
2 2
1 2x
5. ∫ e 2 x dx . Ответ:
2
e + c.
23
