Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Попова Г.К - 22 стр.

                                        9
     4                      t = 1+        x                                                     10
                                                                                              4 1/ 2
                9
l=   ∫       1 + xdx =
                4               9
                                        4             х         0                 4         =
                                                                                              9  ∫
                                                                                                t dt =
     0                      dt = dx                    t        1             10                 1
                                4


 =
     4 2 3/2
      ⋅ t
     9 3
             =
               8
               27
                           (
                  10 10 − 1 .                 )
Пример 1.20. Вычислить длину дуги астроиды x = a cos 3 t , y = a sin 3 t ,
     π
0≤t≤   .
     2
Решение.
x ′t = −3a cos 2 t sin t ,                 y ′t = 3a sin 2 t cos t
     π                                                               π

                                                                                                (                 )
     2                                                               2
l=   ∫       9a 2 cos 4 t sin 2 t + 9a 2 sin 4 t cos 2 t dt =        ∫       9a 2 sin 2 t cos 2 t cos 2 t + sin 2 t dt =
     0                                                               0
         π                         π
         2                         2                                          π
                    3              3 1               3
= 3a sin t cos tdt = a sin 2tdt = − a ⋅ cos 2t 02 = − a(cos π − cos 0 ) =
         ∫                         ∫
                    2              2 2               4
         0                         0
   3            3
= − a( −1 − 1) = a.
   4            2
                                                                                                           2π
Пример 1.21. Найти длину дуги кардиоиды ρ = a(1 − cos ϕ) , 0 ≤ ϕ ≤                                            .
                                                                                                           3
Решение.
ρ′ = a sin ϕ .
     2π                                                    2π


                                                                     (                                     )
     3                                                     3

      ∫       a 2 (1 − cos ϕ) + a 2 sin 2 ϕdϕ =            ∫
                               2
l=                                                              a 2 1 − 2 cos ϕ + cos 2 ϕ + sin 2 ϕ dϕ =
      0                                                    0
     2π                                2π                                2π
                                                                                                         2π
     3                                 3                                 3
                                                        ϕ                        ϕ                 ϕ
             2(1 − cos ϕ)dϕ = a
                                                                                                         3
=a   ∫                                 ∫      2 ⋅ 2 sin2 dϕ = 2a
                                                        2                ∫    sin dϕ = −2a ⋅ 2 cos
                                                                                 2                 20
                                                                                                      =
     0                                 0                                 0

         π              1 
= −4a cos − cos 0  = −4a − 1 = 2a.
         3              2 



                                                           21