Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Попова Г.К - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

20
Учитывая, что
x)x(f
1
=
,
2
22
x2)x(f −= и )x(f)x(f
21
≤ на
отрезке [-2; 1], найдем площадь
фигуры.
()
()()
()
.ед
2
9
2
3
8
4
2
1
3
1
2
2
x
3
x
x2
xdxdxxdx2dxxx2dx)x(f)x(fS
2
1
2
23
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
=
−+−−−−=
−−=
=−−=−−=−=
−
−−−−−
∫∫∫∫∫
2. Длина дуги кривой.
Если гладкая кривая задана уравнением у=f(х), то длина
l ее дуги равна
()()
∫
′
+=
b
a
2
dxxy1l
,
где а и b – абсциссы концов дуги.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t),
(
21
ttt ≤≤ ), то
() ()
∫
′
+
′
=
2
1
t
t
2
t
2
t
dtyxl .
Если задано полярное уравнение гладкой кривой )(ϕ
ρ
=
ρ
,
β
≤ϕ≤α , то
()
ϕρ
′
+ρ=
∫
β
α
d
2
2
l .
Пример 1.19. Вычислить длину полукубической параболы
33
xy = от
начала координат до точки (4; 8).
Решение.
2/3
xy = ,
2/1
x
2
3
y =
′
, 
                                                           Учитывая,                   что             f1( x ) = x ,

                                                           f2 ( x ) = 2 − x 22 и            f1( x ) ≤ f2 ( x )   на
                                                           отрезке [-2; 1], найдем площадь
                                                           фигуры.




      1                       1                                1           1            1

     ∫ (f2 ( x) − f1( x))dx = ∫ ((2 − x ) − x )dx = 2 ∫ dx − ∫ x                        ∫
                                        2                                       2
S=                                                                                  dx − xdx =
     −2                       −2                              −2           −2          −2
                       1
  
  
=  2x −
         x 3 x 2 
         3
            −
              2      = 2 −
                             1 1 
                              − −
                             3 2 
                                   − 4 +
                                          8
                                          3
                                            − 2
                                                 9
                                                =
                                                 2
                                                    ед 2 .                     ( )
                   −2

2. Длина дуги кривой.
Если гладкая кривая задана уравнением у=f(х), то длина l ее дуги равна
                                         b

                                         ∫      1 + (y ′(x )) dx ,
                                                               2
                                   l=
                                         a

где а и b – абсциссы концов дуги.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t),
( t1 ≤ t ≤ t 2 ), то
                                        t2
                                   l=   ∫       (x ′t )2 + (y ′t )2 dt .
                                        t1

Если задано полярное уравнение гладкой кривой ρ = ρ(ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β , то
                                            β

                                            ∫    ρ 2 + (ρ′) dϕ .
                                                              2
                                   l=
                                            α

Пример 1.19. Вычислить длину полукубической параболы y 3 = x 3 от
начала координат до точки (4; 8).
Решение.
                     3 1/ 2
y = x 3 / 2 , y′ =     x ,
                     2


                                                     20

Страницы