Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Попова Г.К - 19 стр.

2 2                 t = 1+ x2                 х                                9
        xdx                                         3      2 2              1 dt 1     9
    ∫             = dt = 2xdx                 t     4       9             =
                                                                            2 ∫  = ⋅2 t =
                                                                                t 2    4
    3   1+ x2              1                                                  4
                    xdx = dt
                          2
=3-2=1.
                                    e2
                                          dx
Пример 1.16. Вычислить              ∫    x ln x
                                                .
                                    e

Решение.
e2        t = ln x,                 х         3     2 2            2
   dx                                                                  dt
∫                                                                  ∫
                                                                                    2
        =       1                   t         4      9         =          = ln t        = ln 2 −
  x ln x dt = dx,                                                       t           1
e               x                                                  1


-ln1=ln2.
4. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Если функции u=u(х) и v=v – непрерывны вместе со своими производ-
ными u′( x ) и v ′( x ) на отрезке [a, b], то справедлива формула
                                         b                 b

                                         ∫ udv = uv        ∫
                                                      b
                                                      a
                                                          − vdu .
                                         a                 a

                                    e
Пример 1.17. Вычислить ln xdx .     ∫
                                    1

Решение.
                                1
e              u = ln x, du =     dx                                                e
                                                                                          1
∫                                                                                   ∫
                                x                                             e
    ln xdx =                                                       =    x lnx 1    − x⋅     dx =
                                                                                          x
1
                                ∫
               dv = dx, v = dx = x + c, c = 0, v = x                                1


= (x ln x − x ) 1 = e ln e − e − ln1 + 1 = 1.
                 e




                                                    18