Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Попова Г.К - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

17
2
2
1
2
2
1 =++−= .
Пример 1.14. Вычислить
∫
−
+
1
1
2
x1
dx
.
Решение.
24444
)1(arctg1arctgxarctg
x1
dx
1
1
1
1
2
π
=
π
+
π
=
π
−−
π
=−−==
+
−
−
∫
.
4. Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть f(х) – непрерывная функция на отрезке [a, b]. Тогда, если:
1) функция х=φ(t) дифференцируема на ] ;[
β
α
и )t(
ϕ
′
непрерывна на
] ;[ βα ; 2) множеством значений функции х=φ(t) является отрезок [a, b];
3) a)( =αϕ и b)(
=
βϕ , то справедлива формула
()
∫∫
β
α
ϕ
′
ϕ= dt)t()t(fdx)x(f
b
a
.
Пример 1.15. Вычислить
∫
+
22
3
2
x1
xdx
.
Решение.
Применим подстановку
2
t1t
+
=
. Тогда dt=2xdx,
(
)
431
2
=+=α ,
(
)
9221
2
=+=β . Следовательно,
12349t2
2
1
t
dt
2
1
x1
xdx
9
4
9
4
22
3
2
=−=−=⋅==
+
∫∫
.
Решение можно оформить следующим образом. 
              2      2
= −1 +          +1=    .
             2      2
                                     1
                                             dx
Пример 1.14. Вычислить               ∫ 1+ x2 .
                                     −1

Решение.
1
        dx                                                   π  π π π π
∫ 1+ x2
                            1
                 = arctgx −1 = arctg1 − arctg( −1) =          − −  = + = .
                                                             4  4 4 4 2
−1

4. Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть f(х) – непрерывная функция на отрезке [a, b]. Тогда, если:
1) функция х=φ(t) дифференцируема на [α; β] и ϕ′( t ) непрерывна на
[α; β] ; 2) множеством значений функции х=φ(t) является отрезок [a, b];
3) ϕ(α ) = a и ϕ(β) = b , то справедлива формула
                                    b               β

                                    ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt .
                                    a               α

                                     2 2
                                              xdx
Пример 1.15. Вычислить                  ∫     1+ x2
                                                        .
                                         3

Решение.

Применим подстановку                      t = 1 + t 2 . Тогда dt=2xdx,   α = 1+   ( 3 )2 = 4 ,
β = 1+ 2 2   (      )2 = 9 . Следовательно,
2 2                     9
         xdx          1 dt 1      9
 ∫       1+ x2
                    =
                      2 ∫  = ⋅ 2 t = 9 − 4 = 3 − 2 = 1.
                          t 2     4
    3                   4

Решение можно оформить следующим образом.




                                                        17

Страницы