Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Попова Г.К - 17 стр.

        b                 b
4)      ∫ k ⋅ f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx , где k – постоянный множитель.
        a                 a

        b                     b                   b
5)      ∫ [f ( x) ± g( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g( x)dx .
        a                     a                   a

                                                        b                 b
6) Если f ( x ) ≤ g( x ) на [a, b], то                  ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g( x)dx .
                                                        a                 a

3. Вычисление простейших определенных интегралов с помощью фор-
мулы Ньютона-Лейбница.
Если F(х) – одна их первообразных непрерывной на [a, b] функции f(х),
то справедлива формула Ньютона-Лейбница:
                                   b

                                   ∫
                                                                    b
                                       f ( x )dx = F( x ) a = F(a) − F(b) .
                                   a

                                          2

                                          ∫x
                                                  3
Пример 1.12. Вычислить                                dx .
                                          −1

Решение.
                    2
                           2 4 (− 1)
2                                         4
            x4                          1  3
∫
      3
     x dx =              =    −      =4− =3 .
            4               4    4      4  4
−1                  −1

                                              0
                                                           1 
Пример 1.13. Вычислить                    ∫   π
                                                 sin x −
                                                         cos 2
                                                                x
                                                                  dx .
                                                                  
                                          −
                                              4

Решение.
 0                                 0                         0
                 1                                                 dx
 ∫                                ∫π                         ∫π cos 2 x
                                                                                           0             0
       sin x −     2
                        dx =          sin xdx +                              = − cos x     π
                                                                                                + tgx     π
                                                                                                              =
    π          cos   x                                                                  −
                                                                                            4
                                                                                                        −
                                                                                                          4
−                                 −                         −
    4                                 4                         4
                π               π             π          π
= − cos 0 − cos −   +  tg0 − tg −   = −1 − cos  +  0 + tg  =
                4               4             4          4




                                                                    16