Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Попова Г.К - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

7
I. Неопределенный и определенный интегралы
§1. Первообразная и неопределенный интеграл.
Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на некотором
промежутке Х, если для всех значений х из этого промежутка выполня-
ется равенство F’(x)=f(х).
Если Ф(х) и F(х) – две первообразные одной и той же функции f(х), то
Ф(х)=F(х)+с, где с=const. С другой стороны, если F(х) – некоторая пер-
вообразная функции f(х), то F(х)+с (с=const) – совокупность всех ее
первообразных, называемая неопределенным интегралом от функции
f(х) и обозначаемая знаком
∫
dx)x(f. Таким образом, по определению
∫
+= c)x(Fdx)x(f,
где F(х) – одна из первообразных функции f(х), а с=const (c R∈ ).
Свойства неопределенного интеграла.
1.
()
)x(fdx)x(f =
′
∫
2.
∫
+=
′
c)x(fdx)x(f
3.
∫∫
≠=⋅ 0a ,dx)x(fadx)x(fa
4.
()
∫
∫
∫
+=+ dx)x(fdx)x(fdx)x(f)x(f
2121
Таблица основных неопределенных интегралов.
1.
c
1
x
dxx
1
+
+α
=
+α
α
∫
, ( 1−≠α ),
2.
cxln
x
dx
+=
∫
,
3.
∫∫
+=≠<+= cedxe ;1)a(0 c
aln
a
dxa
xx
x
x
, 
                    I. Неопределенный и определенный интегралы


§1. Первообразная и неопределенный интеграл.
Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на некотором
промежутке Х, если для всех значений х из этого промежутка выполня-
ется равенство F’(x)=f(х).
 Если Ф(х) и F(х) – две первообразные одной и той же функции f(х), то
 Ф(х)=F(х)+с, где с=const. С другой стороны, если F(х) – некоторая пер-
     вообразная функции f(х), то F(х)+с (с=const) – совокупность всех ее
 первообразных, называемая неопределенным интегралом от функции

 f(х) и обозначаемая знаком                   ∫ f ( x)dx . Таким образом, по определению
                                         ∫ f ( x)dx = F( x) + c ,
где F(х) – одна из первообразных функции f(х), а с=const (c∈ R ).
                           Свойства неопределенного интеграла.

1.   (∫ f (x)dx )′ = f (x)
2.   ∫ f ′( x)dx = f ( x) + c
3.   ∫ a ⋅ f ( x)dx = a∫ f ( x)dx, a ≠ 0
4.   ∫ (f1( x) + f2 ( x))dx = ∫ f1( x)dx + ∫ f2 ( x)dx
                    Таблица основных неопределенных интегралов.
                    x α +1
1.   ∫   x α dx =
                    α +1
                           + c , ( α ≠ −1),

         dx
2.   ∫    x
            = ln x + c ,

                 ax
     ∫                                           ∫e
          x                                           x
3.       a dx =      +c         (0 < a ≠ 1);              dx = e x + c ,
                ln a




                                                    7

Страницы