Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Попова Г.К - 10 стр.

                                                      1     3 
Пример 1.1. Вычислить       ∫    5 sin x − 3 + 4 x 3 − −
                                
                                                      x   2
                                                               dx .
                                                               
                                                          x + 4
Решение.
                        1    3                                  dx
∫                                                ∫                ∫            ∫           ∫
                       3                                    3
     5 sin x − 3 + 4 x − − 2   dx = 5 sin xdx − 3 dx + 4 x dx −    −
                        x x + 4                                  x
         dx                        x 3 +1             1     x
−3 2 ∫x +4
              = −5 cos x − 3 x + 4
                                   3 +1
                                          − ln x − 3 ⋅ arctg + c = −5 cos x − 3 x +
                                                      2     2
               3      x
+ x 4 − ln x − arctg + c
               2      2
                                5                       2   1 
Пример 1.2. Вычислить       ∫      x +3 x +              + 2 dx .
                                                          x x 
Решение.
                                           1              1            1
    5           2   1                              −
∫   
    
       x + 3 x +   +   
                  x x2 
                         dx = x      ∫               ∫            ∫
                                5 dx + 3 x 2 dx + 2 x 2 dx + x − 2 dx =
                                                                                   ∫
      1         1         1
        +1        +1     − +1                                 6            3           1
    x 5       x 2      x  2       x − 2 +1      5         2
=     +3       +2               +          + c = x 5 + 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ 2x 2 − x −1 + c =
 1        1        1              − 2+1         6         3
   +1       +1    − +1
 5        2        2
 5                   1
= x5 x + 2x x + 4 x − + c.
 6                   x

                            ∫ tg
                                     2
Пример 1.3. Вычислить                    xdx .

Решение.
                1                dx
∫             ∫
    tg 2 xdx =     2
                cos x
                       − 1
                          
                            dx =    2∫
                                 cos x               ∫
                                       − dx = tgx − x + c.

2. Метод подстановки (метод замены переменной).
Пусть функция х=φ(t) определена и дифференцируема на некотором
промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на кото-
ром определена функция f(x), т.е. на Т определена сложная функция
f(φ(t)). Тогда если на множестве Х функция f(х) имеет первообразную
F(х), то справедлива формула


                                                 9