Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Попова Г.К - 12 стр.

Пример 1.6. Вычислить         ∫ tg3xdx .
Решение.

                          t = cos 3 x
             sin 3 x                            1 dt    1
∫tg3 xdx =   ∫
             cos 3 x
                     dx = dt = −3 sin 3 xdx = −
                                                3 t      ∫
                                                     = − ln t + c =
                                                        3
                                         1
                          sin 3 xdx = − dx
                                        3
   1
= − ln cos 3 x + c.
   3
                                            2
Пример 1.7. Вычислить         ∫   x ⋅ e1− x dx .

Решение.

                   t = 1− x2
             2                    1 t       1           1     2

∫   x ⋅ e1− x dx = dt = −2xdx = −
                                  2     ∫
                                    e dt = − e t + c = − e1− x + c .
                                            2           2
                           1
                   xdx = − dt
                           2
3. Метод интегрирования по частям.
Пусть функции u(х) и v(х) определены и дифференцируемы на некото-
ром промежутке Х и пусть функция u′( x ) ⋅ v( x ) имеет первообразную на

этом промежутке, т.е. существует                ∫ v( x)u′( x)dx . Тогда на промежутке Х
функция u( x ) ⋅ v ′( x ) также имеет первообразную и справедлива форму-
ла

                  ∫ u( x)v ′( x)dx = u( x)v( x) − ∫ v( x)u′( x)dx .                 (2)

Т.к. v ′( x )dx = dv, u′( x )dx = du , то формулу (2) можно записать в виде

                              ∫ udv = uv − ∫ vdu .                                  (3)

Формулы (2) и (3) – формулы интегрирования по частям в неопреде-
ленном интеграле.




                                                11