Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Попова Г.К - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

12
Пример 1.8. Вычислить
∫
arctgxdx .
Решение.
()
.cx1ln
2
1
arctgxxctln
2
1
arctgxx
dt
2
1
xdx
xdx2dt
x1t
dx
x1
1
xarctgxx
xv ,0c ,cxdxv ,dxdv
dx
x1
1
du ,arctgxu
arctgxdx
2
2
2
2
++−⋅=+−⋅=
=
=
+=
=
=
+
⋅−⋅=
==+===
+
==
=
∫∫
∫
Пример 1.9. Вычислить
∫
dxxe
x2
.
Решение.
.ce
4
1
xe
2
1
dxe
2
1
e
2
1
x
e
2
1
dxev ,dxedv
dxdu ,xu
dxxe
x2x2
x2x2
x2x2x2
x2
+−=
=−⋅=
===
==
=
∫
∫
∫
Замечание.
Практика показывает, что большую часть интегралов, вы-
численных интегрированием по частям, можно разбить на несколько
групп. Рассмотрим две из них.
К первой группе относятся интегралы вида
∫
arctgxdx)x(P,
∫
arcctgxdx)x(P,
∫
xdxarcsin)x(P,
∫
xdxarccos)x(P,
∫
xdxln)x(P, где Р(х) –
многочлен. Для их вычисления надо положить u равным одной из ука-
занных функций (arctgx, arcctgx, …, ln x), а dv = P(x)dx.
Ко второй группе относятся интегралы вида
∫
dxe)x(P
kx
,
∫
kxdxsin)x(P,
∫
kxdxcos)x(P, где Р(х) – многочлен, а k – некоторое число. Для их вы-
Пример 1.8. Вычислить           ∫ arctgxdx .
Решение.
                                             1
                 u = arctgx, du =                dx                                          1
                                        1+ x2
∫ arctgxdx =                                                   = x ⋅ arctgx − x ⋅    ∫    1+ x2
                                                                                                  dx =
                                ∫
                  dv = dx, v = dx = x + c, c = 0, v = x


    t = 1+ x2
                          1
                          2
                                                  1
= dt = 2xdx = x ⋅ arctgx − ln t + c = x ⋅ arctgx − ln 1 + x 2 + c.
                                                  2
                                                                     (          )
         1
  xdx = dt
        2
Пример 1.9. Вычислить xe2 x dx .∫
Решение.
                u = x,        du = dx
                                           1 2x 1 2x
∫                                                                          ∫
     2x
    xe dx =                      1 2x = x ⋅ e −   e dx =
                                    ∫
                         2x             2x
            dv = e dx, v = e dx = e        2    2
                                 2
    1 2x    1
=     xe   − e 2 x + c.
    2       4
Замечание. Практика показывает, что большую часть интегралов, вы-
численных интегрированием по частям, можно разбить на несколько
групп. Рассмотрим две из них.

К     первой        группе     относятся               интегралы         вида        ∫ P( x)arctgxdx ,
∫ P( x)arcctgxdx , ∫ P( x) arcsin xdx , ∫ P( x) arccos xdx , ∫ P( x) ln xdx , где Р(х) –
многочлен. Для их вычисления надо положить u равным одной из ука-
занных функций (arctgx, arcctgx, …, ln x), а dv = P(x)dx.

Ко второй группе относятся интегралы вида                      ∫   P( x )e kx dx ,   ∫ P( x) sin kxdx ,
∫ P( x) cos kxdx , где Р(х) – многочлен, а k – некоторое число. Для их вы-



                                                      12

Страницы