Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Попова Г.К - 11 стр.

                           ∫ f ( x)dx x = ϕ(t ) = ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dx .                                      (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопреде-
ленном интеграле.

Пример 1.4. Вычислить               ∫ cos 5xdx .
Решение.
Положим 5х=t, dt = 5dx , тогда
                  1          1
∫   cos 5 xdx =
                  5 ∫
                    cos tdt = sin t + c .
                             5
Возвращаясь к переменной х, получаем
                  1
∫   cos 5 xdx =
                  5
                    sin 5 x + c .

                                            x 2 dx
Пример 1.5. Вычислить               ∫       1− x   3
                                                       .

Решение.

Положим 1 − x 3 = t, dt = −3 x 2 dx , тогда
                                                                   1
                                            1                     − +1                     1
      2                                 −                          2
     x dx        1 dt    1                           1          t               1               2
∫    1 − x3
              =−
                 3  t∫=−
                         3
                           t        ∫       2 dt   =− ⋅
                                                     3           1
                                                                         + c = − ⋅ 2t 2 + c = −
                                                                                3               3
                                                                                                  t +c =
                                                            −      +1
                                                                 2
   2
=−   1 − x3 + c
   3
Решение можно оформить следующим образом:

                  t = 1 − x3                                            1
                                                                                        1
                                                                                       − +1              1
      2                                                               −                 2
     x dx                      1 dt    1                                         1   t                 2
∫                                              ∫                 ∫
                           2
         = dt = −3 x dx = −         =−                               t 2 dt   =−                + c = − t2 + c =
  1 − x3                       3  t    3                                         3       1             3
            2        1                                                               −     +1
           x dx = − dt                                                                   2
                     3
   2           2
=−    t +c = −    1 − x 3 + c.
   3           3




                                                           10