Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Попова Г.К - 14 стр.

числения              надо       положить                 u=P(х),     а       dv = e kx dx ,   dv = sin kxdx ,
dv = cos kxdx .
4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

                              ∫ sin
                                      m
Интегралы вида                            x ⋅ cos n xdx .

а). Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное чис-
ло, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с
помощью формулы sin 2 x + cos 2 x = 1 оставшуюся четную степень через
дополнительную функцию, переходим к табличному интегралу.

                                             ∫ sin
                                                     3
Пример 1.10. Вычислить                                   xdx .

Решение.

∫ sin                 ∫                          ∫ (1 − cos x )sin xdx = ∫ sin xdx −
        3
            xdx = sin 2 x ⋅ sin xdx =                      2


                                 t = cos x                      t3
    ∫                                                                     ∫
             2                                                                2
− cos x ⋅ sin xdx =                = − cos x + t dt = − cos x +    +c =
                    dt = − sin xdx                              3
                   1
= − cos x +          cos 3 x + c.
                   3
б). Если m и n – четные неотрицательные числа, то степени понижают-
ся с помощью тригонометрических формул:
                 1 + cos 2x             1 − cos 2x                1
cos 2 x =                   , sin 2 x =            , sin x cos x = sin 2x .
                      2                      2                    2

                                             ∫ sin
                                                     2
Пример 1.11. Вычислить                                   3 xdx .

Решение.

                                                     t = 6x
∫sin 2 3 xdx =
                1 − cos
                      2
                        6 x
                          ∫ dx =
                                 1
                                 2
                                                     (∫
                                   dx − cos 6 xdx = dt = 6dx =   ∫            )
                                                           1
                                                     dx = dt
                                                           6
  1      1           1      1           1   1
= x −
  2      6       ∫
             cos tdt  =  x − sin t  + c = x − sin 6 x + c.
                      2      2           2   4



                                                                 13