Построение графиков функций. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

22 §4. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ
ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ y =
x
3
3
−
x
4
4
.
òÅÛÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ ÎÁ ×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÐÒÑÍÏÊ, ÓÌÅÄÏ-
×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓËÏÍÙÅ ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
0
(x) = 0. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
0
(x) = x
2
− x
3
= x
2
(1 − x). îÁÈÏÄÉÍ
ËÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ: x = 0, x = 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÎÁËÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×Á-
ÌÁÈ:
−∞ < x < 0, y
0
(x) > 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ,
0 < x < 1, y
0
(x) > 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ,
1 < x < +∞, y
0
(x) < 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ÕÂÙ×ÁÅÔ.
ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ x = 0 (ÓÌÅ×Á ÎÁÐÒÁ×Ï) ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
ÚÎÁË ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÔÏÞËÁ x = 0 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉ ÔÏÞËÏÊ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ,
ÎÉ ÔÏÞËÏÊ ÍÉÎÉÍÕÍÁ. ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ x = 1 ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÁÑ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË Ó ¤+¥ ÎÁ ¤−¥. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ x = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÔÏÞËÏÊ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ.
ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x −
3
√
x
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ:
y
0
=
x − x
2
3
0
= 1 −
2
3
x
−
1
3
= 1 −
2
3
3
√
x
=
3
3
√
x − 2
3
3
√
x
.
îÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ÆÕÎËÃÉÉ:
y
0
(x) = 0, 3
3
√
x − 2 = 0,
3
√
x =
2
3
, x =
2
3
3
=
8
27
,
y
0
(x) ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ËÏÇÄÁ 3
3
√
x = 0, x = 0.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÎÁËÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ:
−∞ < x < 0, y
0
(x) > 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ,
0 < x <
8
27
, y
0
(x) < 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ÕÂÙ×ÁÅÔ,
8
27
< x < +∞, y
0
(x) > 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ.
ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ, Á ÔÏÞËÁ
x =
8
27
¡ ÔÏÞËÏÊ ÍÉÎÉÍÕÍÁ.
4.5. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÔÏÞÅË ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ
éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) ÍÏÖÎÏ
ÎÁÈÏÄÉÔØ ÐÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ.
22             §4. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ
                                                         3   4
     ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x3 − x4 .
     òÅÛÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ ÎÁ ×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÐÒÑÍÏÊ, ÓÌÅÄÏ-
×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓËÏÍÙÅ ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ËÏÒÎÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y 0 (x) = 0. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 0 (x) = x2 − x3 = x2 (1 − x). îÁÈÏÄÉÍ
ËÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ: x = 0, x = 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÎÁËÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×Á-
ÌÁÈ:
               −∞ < x < 0,    y 0 (x) > 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ,
                0 < x < 1,   y 0 (x) > 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ,
                1 < x < +∞,    y 0 (x) < 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ÕÂÙ×ÁÅÔ.
ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ x = 0 (ÓÌÅ×Á ÎÁÐÒÁ×Ï) ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
ÚÎÁË ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÔÏÞËÁ x = 0 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉ ÔÏÞËÏÊ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ,
ÎÉ ÔÏÞËÏÊ ÍÉÎÉÍÕÍÁ. ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ x = 1 ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÁÑ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË Ó ¤+¥ ÎÁ ¤−¥. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ x = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÔÏÞËÏÊ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ.                                      √3
   ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = x − x2.
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ:
                                                    √
                       2 0
                               2  1        2     3 3
                                                      x−2
            y 0 = x − x 3 = 1 − x− 3 = 1 − √    =     √ .
                                3          33x      33x
îÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ÆÕÎËÃÉÉ:
                                                       3
           0
                        √              √      2        2      8
          y (x) = 0,   3 3 x − 2 = 0,   3
                                          x= , x=           = ,
                                              3        3      27
                                             √
               y 0 (x) ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ËÏÇÄÁ 3 3 x = 0, x = 0.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÎÁËÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ:
            −∞ < x < 0, y 0 (x) > 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ,
                      8
               0 < x < , y 0 (x) < 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ÕÂÙ×ÁÅÔ,
                      27
            8
               < x < +∞, y 0 (x) > 0 ¡ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ.
            27
ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ, Á ÔÏÞËÁ
     8
x = 27 ¡ ÔÏÞËÏÊ ÍÉÎÉÍÕÍÁ.

4.5. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÔÏÞÅË ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ

  éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) ÍÏÖÎÏ
ÎÁÈÏÄÉÔØ ÐÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ.

Страницы