Построение графиков функций. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

26 §4. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ: y
0
(x) = 3x
2
, ÏÔÓÀÄÁ, ×ÏÚÍÏÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÜËÓÔÒÅÍÕ-
ÍÁ ¡ x = 0 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 2). äÁÌÅÅ,
y
00
(x) = 6x, y
00
(0) = 0; y
000
(x) = y
000
(0) = 6 > 0.
éÔÁË, ÐÅÒ×ÁÑ É ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÒÁ×ÎÙ ÎÕ-
ÌÀ, Á ÔÒÅÔØÑ ¡ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x = 0 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ
ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ (3 ¡ ÎÅÞ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ).
ðÒÉÍÅÒ 13. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ y = x
4
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ: y
0
(x) = 4x
3
, ÏÔÓÀÄÁ, ×ÏÚÍÏÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÜËÓÔÒÅÍÕ-
ÍÁ ¡ x = 0 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 3). äÁÌÅÅ,
y
00
(x) = 12x
2
, y
00
(0) = 0; y
000
(x) = 24x, y
000
(0) = 0; y
(4)
(x) = y
(4)
(0) = 24 > 0.
ðÏÌÕÞÉÌÉ, ÞÔÏ ÐÅÒ×ÁÑ, ×ÔÏÒÁÑ É ÔÒÅÔØÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ
x = 0 ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, Á ÞÅÔ×¾ÒÔÁÑ ¡ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x = 0
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ (4 ¡ Þ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). ôÁË ËÁË y
(4)
(0) > 0, ÔÏ
x = 0 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÉÎÉÍÕÍÁ.
ðÒÉÍÅÒ 14. ÷ÙÑÓÎÉÔØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÔÏÞËÁ x = 0 ÔÏÞËÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ
ÆÕÎËÃÉÉ
y = −
x
6
2
+ x
2
e
x
4
− 1
.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ:
y
0
(x) = −3x
5
+ 2x
e
x
4
− 1
+ 4x
5
e
x
4
, y
0
(0) = 0;
y
00
(x) = −15x
4
+ 2
e
x
4
− 1
+ 28x
4
e
x
4
+ 16x
8
e
x
4
, y
00
(0) = 0;
y
000
(x) = −60x
3
+ 120x
3
e
x
4
+ 112x
7
e
x
4
+ . . . , y
000
(0) = 0;
y
(4)
(x) = −180x
2
+ 360x
2
e
x
4
+ . . . , y
(4)
(0) = 0;
y
(5)
(x) = −360x + 720xe
x
4
+ . . . , y
(5)
(0) = 0;
y
(6)
(x) = −360 + 720e
x
4
+ . . . , y
(6)
(0) = 360.
ôÁË ËÁË y
(6)
(0) = 360 > 0 É ÞÉÓÌÏ 6 Þ¾ÔÎÏÅ, ÔÏ ÔÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ
ÍÉÎÉÍÕÍÁ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
4.8. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÅÐÒÅÒÙ×-
ÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a; b]. ôÏÇÄÁ ÎÁ ÜÔÏÍ
ÏÔÒÅÚËÅ ÏÎÁ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ Ó×ÏÉÈ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ.
26               §4. éÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ

  òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ: y 0 (x) = 3x2, ÏÔÓÀÄÁ, ×ÏÚÍÏÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÜËÓÔÒÅÍÕ-
ÍÁ ¡ x = 0 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 2). äÁÌÅÅ,
                y 00 (x) = 6x,   y 00 (0) = 0;       y 000 (x) = y 000 (0) = 6 > 0.
   éÔÁË, ÐÅÒ×ÁÑ É ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ x = 0 ÒÁ×ÎÙ ÎÕ-
ÌÀ, Á ÔÒÅÔØÑ ¡ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x = 0 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ
ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ (3 ¡ ÎÅÞ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ).
   ðÒÉÍÅÒ 13. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ y = x4.
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ: y 0 (x) = 4x3, ÏÔÓÀÄÁ, ×ÏÚÍÏÖÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÜËÓÔÒÅÍÕ-
ÍÁ ¡ x = 0 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 3). äÁÌÅÅ,
y 00 (x) = 12x2, y 00 (0) = 0; y 000 (x) = 24x, y 000 (0) = 0; y (4) (x) = y (4) (0) = 24 > 0.
   ðÏÌÕÞÉÌÉ, ÞÔÏ ÐÅÒ×ÁÑ, ×ÔÏÒÁÑ É ÔÒÅÔØÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ
x = 0 ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ, Á ÞÅÔ×¾ÒÔÁÑ ¡ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x = 0
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ (4 ¡ Þ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). ôÁË ËÁË y (4) (0) > 0, ÔÏ
x = 0 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÉÎÉÍÕÍÁ.
   ðÒÉÍÅÒ 14. ÷ÙÑÓÎÉÔØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÔÏÞËÁ x = 0 ÔÏÞËÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ
ÆÕÎËÃÉÉ
                              x6   2
                                      4
                                       x
                                           
                         y =− +x e −1 .
                               2
   òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ:
                               4           4
             y (x) = −3x + 2x e − 1 + 4x5ex , y 0 (0) = 0;
              0         5        x

                           4           4       4
       y (x) = −15x + 2 e − 1 + 28x4ex + 16x8ex , y 00 (0) = 0;
        00           4      x

                                           4                 4
            y 000 (x) = −60x3 + 120x3ex + 112x7ex + . . . ,               y 000 (0) = 0;
                                                         4
                 y (4) (x) = −180x2 + 360x2ex + . . . ,             y (4) (0) = 0;
                                                     4
                  y (5) (x) = −360x + 720xex + . . . ,             y (5) (0) = 0;
                                                 4
                  y (6) (x) = −360 + 720ex + . . . ,             y (6) (0) = 360.
ôÁË ËÁË y (6) (0) = 360 > 0 É ÞÉÓÌÏ 6 Þ¾ÔÎÏÅ, ÔÏ ÔÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ
ÍÉÎÉÍÕÍÁ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.

4.8. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÅÐÒÅÒÙ×-
     ÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ

  ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a; b]. ôÏÇÄÁ ÎÁ ÜÔÏÍ
ÏÔÒÅÚËÅ ÏÎÁ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ Ó×ÏÉÈ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ.

Страницы