Построение графиков функций. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 §2. îÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ É ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á ÆÕÎËÃÉÉ
îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ x < 0 É x > 0 ÆÕÎËÃÉÑ sgn x ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ. ÷ ÔÏÞËÅ x = 0
ÆÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ. ôÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÒÁÚÒÙ-
×Á ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÄÁ (ÔÏÞËÁ ÓËÁÞËÁ), ÔÁË ËÁË ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ËÏÎÅÞÎÙÅ (ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ
ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ) ÌÅ×ÙÊ É ÐÒÁ×ÙÊ ÐÒÅÄÅÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ sgn x × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ
lim
x→0+
sgn x = 1, lim
x→0−
sgn x = −1, 1 6= −1.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ É ËÌÁÓÓÉÆÉÃÉÒÏ×ÁÔØ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á ÆÕÎËÃÉÉ
1
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÑ
1
x
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ x < 0 É x > 0. ôÏÞËÁ
x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÒÁÚÒÙ×Á ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ, ÔÁË ËÁË
lim
x→0+
1
x
= +∞, lim
x→0−
1
x
= −∞.
ðÒÉÍÅÒ 3. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á ÆÕÎËÃÉÉ y =
sin x
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÑ y =
sin x
x
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ, ËÒÏÍÅ
ÔÏÞËÉ x = 0, × ËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ
lim
x→0−
sin x
x
= lim
x→0+
sin x
x
= 1 (ÐÅÒ×ÙÊ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÐÒÅÄÅÌ),
ÔÏ ÔÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÒÁÚÒÙ×Á ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÄÁ (ÕÓÔÒÁÎÉÍÙÊ ÒÁÚÒÙ×).
äÏÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ ÐÏ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ:
y =
sin x
x
ÐÒÉ x 6= 0,
1 ÐÒÉ x = 0.
8                           §2. îÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ É ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á ÆÕÎËÃÉÉ

   îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ x < 0 É x > 0 ÆÕÎËÃÉÑ sgn x ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ. ÷ ÔÏÞËÅ x = 0
ÆÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ. ôÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÒÁÚÒÙ-
×Á ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÄÁ (ÔÏÞËÁ ÓËÁÞËÁ), ÔÁË ËÁË ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ËÏÎÅÞÎÙÅ (ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ
ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ) ÌÅ×ÙÊ É ÐÒÁ×ÙÊ ÐÒÅÄÅÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ sgn x × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ
                 lim sgn x = 1,   lim sgn x = −1,   1 6= −1.
                x→0+              x→0−

   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ É ËÌÁÓÓÉÆÉÃÉÒÏ×ÁÔØ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á ÆÕÎËÃÉÉ x1 .
   òÅÛÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÑ x1 ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ x < 0 É x > 0. ôÏÞËÁ
x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÒÁÚÒÙ×Á ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ, ÔÁË ËÁË
                          1               1
                      lim = +∞, lim = −∞.
                     x→0+ x          x→0− x




   ðÒÉÍÅÒ 3. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á ÆÕÎËÃÉÉ y = sinx x .
   òÅÛÅÎÉÅ. æÕÎËÃÉÑ y = sinx x ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ, ËÒÏÍÅ
ÔÏÞËÉ x = 0, × ËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ
            sin x        sin x
        lim       = lim        = 1 (ÐÅÒ×ÙÊ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÐÒÅÄÅÌ),
       x→0− x      x→0+ x

ÔÏ ÔÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÒÁÚÒÙ×Á ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÄÁ (ÕÓÔÒÁÎÉÍÙÊ ÒÁÚÒÙ×).




    äÏÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ ÐÏ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ:
                             sin x
                                x   ÐÒÉ x 6= 0,
                        y=
                                1 ÐÒÉ x = 0.

Страницы