Составители:
Рубрика:
13
Пусть )(
t
x
ϕ
= - строго монотонная и непрерывно дифференци-
руемая функция на некотором промежутке изменения
t
. Если на со-
ответствующем промежутке изменения
x
функция )(
x
f
непрерывна,
то будем иметь
[
]
∫
∫
′
= .)()()( dtttfdxxf
ϕϕ
(1.16)
Справедливость равенства (1.16) следует из свойства инвари-
антности формул интегрирования, ибо если
)(
x
F
- первообразная для
)(
x
f
, то, вычислив производную сложной функции
[]
)(tF
ϕ
по
t
()
[]
() ()
[
]
() ()
[
]
()
,ttfttFtF
ϕϕϕϕϕ
′
=
′′
=
′
легко заметить, что она является первообразной для
()
[]
()
.ttf
ϕ
ϕ
′
Это
значит, что каждая из частей равенства (1.16) представляет собой со-
вокупность всех первообразных для функции
)(
x
f
. Разница состоит в
том, что интеграл в левой части выражает эту совокупность в виде
явных функций от переменной
x
, а интеграл в правой части – в виде
функций, выраженных параметрически, с помощью параметра
t
,
причем )(
t
x
ϕ
= . Формула (1.16) называется формулой замены пере-
менной в неопределенном интеграле. Для выражения интеграла в виде
функций от
x
следует после интегрирования по переменной
t
в по-
лученном результате перейти от переменной
t
к переменной
x
при
помощи зависимости )(
t
x
ϕ
= . При использовании метода замены пе-
ременной иногда удобно вводить подстановки вида
)(
x
t
Ψ= или
).()(
x
t
Ψ=
ϕ
Примеры:
1.
Считая, что 0≥
x
, вычислить интеграл
()
∫
+
−
.
1
23
3
dx
x
x
Сделаем замену переменной по формуле
.1
−
=
t
x
Тогда d
t
dx
=
и, следовательно,
()
,
2
53
2
5
1
353
53532)1(3
1
23
2
21
32
32333
C
t
t
C
tt
dttdtt
dt
tt
dt
t
t
dt
t
t
dx
x
x
++−=+
−
−
−
=−=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
−
=
−−
=
+
−
−−
−−
∫∫
∫∫∫∫
где
C
- произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной
x
, бу-
дем иметь окончательно
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
