Составители:
Рубрика:
16
Произведение
uv
является первообразной для суммы
v
u
v
u
′
+
′
,
следовательно, по определению неопределенного интеграла можем
написать
,)( Cuvdxvuvu +=
′
+
′
∫
где
C
- произвольная постоянная. Последнее равенство равносильно
равенству
∫
∫
+=
′
+
′
,Cuvdxvuvdxu
или
∫
∫
′
−=
′
,dxuvuvdxvu
(1.17)
где постоянная
C
не выписывается явно, так как неопределенный ин-
теграл неявным образом уже содержит произвольную постоянную.
Равенство (1.17) обычно записывают в виде
∫
∫
−= .vduuvudv (1.18)
Формула (1.17) (или (1.18)) называется формулой интегрирования
по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла
∫
′
dxvu
к вы-
числению интеграла
∫
′
dxuv
. Метод интегрирования по частям приме-
няется тогда, когда подынтегральное выражение предложенного инте-
грала представляется в виде произведения udv, причем функция и(х) и
v(x) выбираются так, чтобы интегрирование выражения vdu было
проще интегрирования выражения udv. Следует отметить, что при
интегрировании по частям приходится по дифференциалу dv(x) нахо-
дить функцию v(x). При этом, т.к. достаточно найти только одну ка-
кую-нибудь первообразную, то произвольную постоянную обычно опус-
кают.
Примеры:
1. Вычислить
(
)
∫
+ .2 dxex
x
Здесь разумно положить
,,2 dxedvxu
x
=+= тогда находим,
что
,.
x
du dx v e== Применяя формулу (1.18), получим
()
2(2) (2) (1).
xxxxx x
x
edxx e edxx eeC x eC+=+−=+−+=++
∫∫
2.
Вычислить
∫
.ln
5
xdxx
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
