Составители:
Рубрика:
17
В данном примере целесообразно положить ,,ln
5
dxxdvxu ==
тогда
.
6
,
1
6
x
vdx
x
du == Применяя формулу (1.18), будем иметь
.
6
1
ln
66
1
ln
6
1
6
ln
6
ln
6
5
666
5
Cx
x
dxxx
x
dx
x
x
x
x
xdxx +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−=−=
∫∫∫
Метод интегрирования по частям иногда целесообразно приме-
нять несколько раз.
Пример. Вычислить
∫
.cos
2
xdxx
Положим
,cos,
2
xdxdvxu ==
тогда
.sin,2 xvxdxdu == Воспользовавшись формулой (1.18), полу-
чим
∫
∫
−= .sin2sincos
22
xdxxxxxdxx (1.19)
Вычисление предложенного интеграла свелось к вычислению
интеграла
∫
,sin xdxx который тоже будем вычислять с помощью ме-
тода интегрирования по частям. Положим
,sin, xdxdvxu =
=
тогда
xvdxdu cos, −== и, следовательно,
(
)
∫
∫
++−=−−−= .sincoscoscossin Cxxxdxxxxxdxx (1.20)
Подставив (1.20) в (1.19), получим окончательно
(
)
22
2
1
cos sin 2 cos sin
sin 2 cos 2sin ,
x
xdx x x x x x C
xxxx xC
=−−++=
=+ −+
∫
где
CC 2
1
−= - новая произвольная постоянная.
Методом интегрирования по частям вычисляются, например,
следующие типы интегралов
∫∫∫
∫∫∫
,,arcsin,
,sin,cos,ln
axdxarctgxaxdxxdxex
axdxxaxdxxxdxx
nnaxn
nnmn
где n и m - любые натуральные числа. Иногда при помощи повтор-
ного применения формулы интегрирования по частям получают ра-
венство, содержащее искомый интеграл, из которого определяют его
выражение.
Пример. Вычислить
∫
=Υ xdxe
x
cos .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
