Составители:
Рубрика:
23
Таким образом, модуль произведения двух комплексных чисел ра-
вен произведению их модулей, а аргумент этого произведения ра-
вен сумме аргументов сомножителей.
Используя определение частного двух комплексных чисел, не-
трудно показать справедливость равенства
[]
,)sin()cos(
2121
2
1
2
1
ϕϕϕϕ
−+−= i
r
r
z
z
,
которое означает, что модуль частного двух комплексных чисел ра-
вен частному их модулей, а аргумент равен разности аргументов
делимого и делителя.
Используя формулу (1.32), легко показать справедливость форму-
лы для возведения комплексного числа в целую положительную
степень п
()
[]
(
)
,sincossincos
ϕϕϕϕ
ninrir
n
n
+=+
которая носит название формулы Муавра.
Комплексное число w = R{cos Ψ + i sin Ψ) называют корнем степе-
ни п из комплексного числа z = r(cos φ + i sin φ), если w
n
= z; при
этом пишут .
n
zw =
Используя формулу Муавра и учитывая, что аргумент комплексного
числа определяется с точностью до слагаемого, кратного 2π, сможем на-
писать
(
)
,,2,1,02, "±±=+=Ψ= kknrR
n
πϕ
откуда следует
.
2
,
n
k
rR
n
π
ϕ
+
=Ψ=
Придавая k значения 0,1,2,…, п - 1, получим n различных главных
значений аргумента для
n
z
.
)1(2
,,
2
,
n
n
nn
π
ϕ
π
ϕ
ϕ
−
+
+
" (1.33)
Остальным значениям k соответствуют значения
Ψ
, отличающиеся от
одного из значений (1.33) на величину, кратную 2π.
Итак,
n
z имеет п различных значений, определяемых формулой
()
,1,,2,1,0
2
sin
2
cos −=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
= nk
n
k
i
n
k
rz
nn
"
π
ϕ
π
ϕ
(1.34)
причем
n
r
означает положительное значение корня степени n из поло-
жительного вещественного числа r.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
