Составители:
Рубрика:
25
где )(
1
xP
n−
- некоторый многочлен степени n - 1 (частное от деления
Р
п
(х) на разность х - с)
Следствие. Если с - корень многочлена Р
п
(х), т.е. Р
п
(с) = 0, то
многочлен Р
п
(х) делится без остатка на разность х – с
(
)
).()(
1
xPcxxP
nn −
−
=
Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен Р
п
(х) сте-
пени п > 0 имеет, по крайней мере, один корень - вещественный или
комплексный.
Следствие. Всякий многочлен Р
п
(х) может быть представлен в ви-
де
(
)
),()()(
210 nn
cxcxcxaxP
−
−
−
= "
где
n
ccc ",,
21
- корни многочлена Р
п
(х).
Может случиться, что среди чисел
n
ccc ",,
21
есть равные. Обозна-
чим через
m
ccc ",,
21
различные корни многочлена Р
п
(х), а через
m
kkk ",,
21
- кратность соответствующего корня. Тогда разложение
многочлена Р
n
(х) можно представить в виде
()
.)()()(
2
1
210
m
k
m
k
k
n
cxcxcxaxP −−−= " (1.36)
Ясно, что
12 m
kk k+++" = п.
Если кратность некоторого корня равна единице, то соответствую-
щий корень многочлена называется простым. Если кратность некото-
рого корня равна k, то считают, что многочлен Р
п
(х) имеет k одинако-
вых корней. Имея это ввиду, можно утверждать, что многочлен степени
п имеет ровно n корней (вещественных или комплексных).
Теорема 3. Если многочлен Р
п
(х) с вещественными коэффициен-
тами имеет комплексный корень а + ib кратности k, то сопряженное
число a - ib есть корень той же кратности.
Пусть a + ib и a — ib - пара сопряженных комплексных корней мно-
гочлена Р
п
(х). Вычислим произведение разностей х - (a + ib) и х - (а - ib) :
()
[]
()
[]
(
)
[
]
(
)
[
]
()
.2
2222
2
baaxxbax
ibaxibaxibaxibax
++−=+−=
=+
−
−
−
=
−
−+−
Отсюда следует, что в разложении (1.36) всякое произведение двух
линейных множителей, соответствующих паре сопряженных ком-
плексных корней можно записать в виде квадратного трехчлена вида
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
