Составители:
Рубрика:
35
При разложении правильной рациональной дроби на простейшие,
могут быть применены различные искусственные приемы.
Пример. Вычислить
(
)
∫
+
.
1
22
xx
dx
В данном случае для разложения подынтегральной функции на про-
стейшие сначала добавим и отнимем в числителе x
2
, а затем поделим
почленно на знаменатель. Получим
() ()
,
1
1
11
1
1
1
22
22
22
22
Carctgx
x
dx
xx
dx
xx
xx
xx
dx
+−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−=
=
+
−+
=
+
∫
∫∫
где
С
- произвольная постоянная.
§9. Интегрирование рациональных выражений
от тригонометрических функций и некоторых
иррациональных выражений
Под рациональным выражением от тригонометрических
функций понимается выражение, в котором тригонометрические
функции входят рационально, т.е. над ними выполняется только
конечное число арифметических действий.
Так как
,
sin
1
cos,
cos
1
sec,
sin
cos
,
cos
sin
x
ecx
x
x
x
x
ctgx
x
x
tgx
====
то, не умоляя общности, можно ограничиться рассмотрением ра-
циональных выражений от xx cosиsin , которые символически за-
писываются в виде R( xx cos,sin ), где R означает рациональную
функцию от двух аргументов. Для вычисления интеграла вида
dxxxR )cos,sin(
∫
введем подстановку
,
2
x
tgt
=
которая называется
универсальной и которая позволяет выразить dxxx иcos,sin ра-
ционально через переменную t.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
