Интегральное исчисление функций одной переменной. Потапенко А.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

36
Действительно, используя подстановку ,
2
x
tgt = можем написать
,
1
2
2
1
2
2
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin2
sin
2
222
t
t
x
tg
x
tg
xx
xx
x
+
=
+
=
+
=
(1.43)
.
1
1
2
1
2
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
cos
2
2
2
2
22
22
t
t
x
tg
x
tg
xx
xx
x
+
−
=
+
−
=
+
−
=
(1.44)
Далее из равенства x = 2 arctg t, которое следует из подстановки, по-
лучим после дифференцирования
.
1
2
2
dt
t
dx
+
=
(1.45)
Выполняя подстановку, сможем написать
∫∫∫
=
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
= ,)(
1
2
1
1
,
1
2
)cos,(sin
1
22
2
2
dttRdt
tt
t
t
t
RdxxxR
где )(
1
tR - рациональная функция переменной t. Для интегрирования
рациональной функции )(
1
tR следует использовать изложенные вы-
ше приемы.
Пример. Вычислить
∫
+
−
.
cossin1
x
x
dx
Полагая
2
x
tgt =
и используя равенства (1.43), (1.44), (1.45), полу-
чим
∫
∫∫∫
+−−=+−−=
−
−=
=
−+−+
=
+
−
+
+
−
+
=
+−
.1
2
ln1ln
1
121
2
1
1
1
2
1
1
2
cossin1
22
2
2
2
2
C
x
tgCt
t
dt
ttt
dt
t
t
t
t
dt
t
xx
dx

Страницы