Интегральное исчисление функций одной переменной. Потапенко А.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

38
дробно-линейной функции
dcba
dcx
bax
,,,(
+
+
- произвольные вещест-
венные числа) в рациональных степенях
,,,,
2
2
1
1
k
k
n
m
n
m
n
m
"
т.е.
12
12
,,, ,
k
k
m
mm
nn n
ax b ax b ax b
J
Rdx
cx d cx d cx d
⎡⎤
++ +
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
⎢⎥
=
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
++ +
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
∫
"
де R означает рациональную функцию от своих аргументов. В этом
случае разумно ввести подстановку
p
t
dcx
bax
=
+
+
,
где р - общий знаменатель дробей
k
k
n
m
n
m
n
m
,,,
2
2
1
1
"
.
Действительно, при такой подстановке
()
,,,
,,,
22
2
2
2
11
1
1
1
1
2
kk
k
k
k
pn
m
p
n
m
pn
m
p
n
m
pn
m
p
n
m
p
p
p
p
tt
dcx
bax
tt
dcx
bax
tt
dcx
bax
dtpt
cta
bcad
dx
cta
bdt
x
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
−
=
−
−
=
−
"
где p
1 ,
p
2
,…,p
k
– целые числа. В результате получим
12
1
1
2
(, ,..., ) ( ) (),
()
k
p
pp
p
p
ad bc
J
Rt t t pt dt pad bc R tdt
act
−
−
=⋅=−
−
∫∫
где )(
1
tR - рациональная функция переменной t.
Пример. Вычислить
∫
+
.
3/12/1
x
x
dx
Здесь общий знаменатель показателей степеней у
21
x
и
31
x
равен
6, поэтому применяем подстановку ,
6
tx = считая t > 0. Ясно, что
dx= 6t
5
dt и, следовательно, сможем написать
∫∫∫
+
=
+
=
+
.
1
6
6
3
23
5
3/12/1
dt
t
t
t
t
dtt
x
x
dx

Страницы