Интегральное исчисление функций одной переменной. Потапенко А.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

40
Используя формулу квадрата разности, а также формулы
22
1 sin cos , sin 2sin cos ,
22 22
x
xxx
x=+ =⋅
будем иметь
()
∫∫
∫
∫∫
++=−=−=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
.cossinsin1
2
cos
2
cos
2
sin2
2
sin
2
cos
2
sin
22
2
Cxxxdxdxdxx
dx
xxxx
dx
xx
3. Вычислить
∫
+
dx
x
x
2
4
1
.
Добавив и отняв в числителе сумму x
2
+ 1, сможем написать
∫∫∫∫
∫∫∫∫
+−−=
+
+−=
+
+
+
+
−
+
+
=
+
+−−+
=
+
.
3
1
1
1
1
1
1
11
11
1
3
2
2
2
2
2
2
24
2
224
2
4
Carctgxx
x
dx
x
dxdxxdx
x
dx
x
x
dx
x
xx
dx
x
xxx
dx
x
x
4. Вычислить
∫
.cossin
3
xdxx
Введем подстановку t = sin x, тогда dt = cosxdx и, следовательно, бу-
дем иметь
∫∫
+== .
4
cossin
4
33
C
t
dttxdxx
Возвращаясь к старой переменной, получим
∫
+= .sin
4
1
cossin
43
Cxxdxx
5. Вычислить
∫
+ x
xdx
2
sin1
2sin
.
Введем подстановку
xt
2
sin1+=
, тогда
x
t
22
sin1+= , a
x
dx
x
tdt cossin22 = , откуда следует
x
dxtdt 2sin2
=
. Переходя к новой
переменной, сможем написать
∫∫∫
+===
+
.22
2
sin1
2sin
2
Ctdt
t
tdt
x
xdx
Возвращаясь к старой переменной, будем иметь

Страницы