Составители:
Рубрика:
37
Подстановка
2
x
tgt =
иногда приводит к интегралам от громоздких
алгебраических выражений и с этой точки зрения не всегда бывает
наилучший. Например, в случае интеграла вида ,)cos,sin(
22
dxxxR
∫
т.е. интеграла от рационального выражения, содержащего только чет-
ные степени тригонометрических функций, целесообразно применить
подстановку
t
g
x
t
=
. Действительно, при такой подстановке
,
1
1
1
1
cos,
11
sin
22
2
2
2
2
2
2
txtg
x
t
t
xtg
xtg
x
+
=
+
=
+
=
+
=
2
1
t
dt
dx
+
= (1.46)
и, следовательно, получаем интеграл от рациональной функции пере-
менной t.
Пример. Вычислить
∫
+
.
sin4cos
22
x
x
dx
Применив подстановку tgx
t
=
и используя формулы (1.46), получим
.)2(
2
1
22
4
1
4
1
4
1
41
1
4
1
1
1
1
sin4cos
2
2
2
2
2
2
22
CtgxarctgCtarctg
t
dt
t
dt
t
t
t
dt
t
xx
dx
+=+⋅=
=
+
=
+
=
+
+
+
+
=
+
∫∫∫∫
Для вычисления интегралов вида
xdxxR cos)sin(
∫
и
dxxsxcoR )sin)(
∫
разумно применить соответственно подстановки
sin х = t и cos x = t.
Иррациональные алгебраические выражения в общем случае не ин-
тегрируются в конечном виде. Однако, некоторые иррациональные
выражения допускают интегрирование в конечном виде. Рассмотрим,
например, интегрирование выражений, рационально зависящих от
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
