Составители:
Рубрика:
44
дом из частичных промежутков
[
]
1
,
+kk
xx по произвольной точке
k
x
, вычислим значения f(
k
x
) функции f(х) в этих точках и введем
обозначения
kkk
xxx −=Δ
+1
. Легко видеть, что каждое из произве-
дений
() ()
(
)
,,,,,
11221100 −−
Δ
Δ
ΔΔ
nn
xxfxfxxxfxxf " равно площади
прямоугольника, опирающегося соответственно на частичные про-
межутки
[]
[
][ ]
[
]
nn
xxxxxxxx ,,,,,,,,
1322110 −
"
и имеющего высоты
()()() ()
1210
,,,,
−n
xfxfxfxf " . Сумма
()
∑
−
=
Δ=
1
0
n
k
kkn
xxfS
равна площади ступенчатой (заштрихованной) фигуры, составленной
из указанных прямоугольников. При неограниченном увеличении числа
точек дробления промежутка [а, b] на частичные промежутки и притом
так, чтобы длина самого большого частичного промежутка стремилась
к нулю, естественно считать, что величина S
n
будет стремиться к S не-
зависимо от способа разбиения промежутка [а, b] на частичные проме-
жутки и от выбора точек
,,,,,
1210 −n
xxxx "
, так что
()
. lim
1
0
0max
∑
−
=
→Δ
Δ=
n
k
kk
x
xxfS
k
(2.1)
Итак, искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу (2.1).
Решение многих практических задач (определение массы стержня
переменной плотности, определение работы силы при прямолинейном
движении точки и др.) сводится к вычислению пределов вида (2.1). Это
обусловило введение понятия определенного интеграла - одного из
фундаментальных понятий математики. Перейдем к его определению,
отвлекаясь от конкретного содержания задачи.
Пусть на конечном замкнутом промежутке [а, b], где а < b определе-
на ограниченная функция f(x). Проделаем пять операций:
1) разобьем промежуток [а, b] произвольным образом на п частей
точками
012 1
,, , ,
nn
x
xx x x
−
" , следующими друг за другом, так что
"<<<=
210
xxxabxx
nn
=
<<
−1
(для удобства записи точки а и b
обозначены соответственно через x
0
и х
п
и введем обозначения
()
.1,,2,1,0
1
−
=−=Δ
+
nkxxx
kkk
" Назовем рангом (шагом) дробле-
ния число
{}
;max
k
k
xΔ=
λ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
