Составители:
Рубрика:
46
В определении интеграла (2.3) предполагалось, что а < b. Снимем
это ограничение, положив по определению
если b < а, то
() ()
,
bb
aa
f
xdx f xdx=−
∫∫
если b = а, то
()
0=
∫
b
a
dxxf .
Определение. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на
некотором промежутке, если она на этом промежутке ограничена и
имеет лишь конечное число точек разрыва.
Из определения следует, что кусочно-непрерывная функция может
иметь точки разрыва только первого рода. Геометрически кусочно-
непрерывная функция изображается линией, состоящей из конечного
числа непрерывных участков. Очевидно, что непрерывная функция яв-
ляется частным случаем кусочно-непрерывной функции.
Теорема. Если функция f(x) кусочно-непрерывна на промежутке
[а, b] , то она на нем интегрируема.
Из изложенного следует, что формула (2.1), дающая выражение для
площади S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком
неотрицательной непрерывной функции f(x), может быть записана в
виде
()
∫
=
b
a
dxxfS .
В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла от
неотрицательной непрерывной функции f(x) на промежутке [а, b]. Что-
бы дать геометрическую интерпретацию определенному интегралу от
непрерывной функции, принимающей положительные и отрицательные
значения, достаточно площадям криволинейных трапеций, ограничи-
ваемых графиком функции, приписывать знак, а именно: положитель-
ными считать площади тех трапеций, которые расположены над осью
Ох, а отрицательными - под
осью Ох (рис.4)
Геометрический смысл опре-
деленного интеграла теперь
можно сформулировать сле-
дующим образом: определен-
+
+
−
()yfx
=
a
b
x
y
Ðè ñ . 4
+
+
O
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- …
- следующая ›
- последняя »
