Составители:
Рубрика:
48
() ()
[]
() ()
∑∑∑
−
=
−
=
−
=
Δ+Δ=Δ+
1
0
1
0
21
1
0
21
.
n
k
n
k
kkkk
n
k
kkk
xxfxxfxxfxf
Переходя в этом равенстве к пределу при 0→
λ
, получим равенство
(2.5). Легко видеть, что свойство 2 справедливо для любого конечного
числа слагаемых.
Заметим, что свойства 1 и 2 выражают свойство линейности оп-
ределенного интеграла относительно подинтегральной функции: оп-
ределенный интеграл от линейной комбинации конечного числа интег-
рируемых функций равен соответствующей (т.е. с теми же коэффици-
ентами) линейной комбинации определенных интегралов от этих функ-
ций:
() () ()
[]
() ()
∫∫∫
++=+++
b
a
n
b
a
n
b
a
nn
dxxfcdxxfcdxxfcxfcxfc ""
112211
.
Свойство З. (Аддитивность относительно промежутка интегри-
рования).
Если функция f(x) интегрируема в наибольшем по длине промежут-
ке, определяемом любыми числами а, b, с, то имеет место равенство
() () ()
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf .
Это свойство принимаем без доказательства.
Свойство 4. Если а < b и на промежутке [а, b] функция f(x) интег-
рируема, причем всюду в [а, b] выполняется неравенство
()
0)(0)( ≤≥ xfxf , то
() ()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤≥
∫∫
00
b
a
b
a
dxxfdxxf . (2.6)
Доказательство. Составим интегральную сумму для функции
f(x) на промежутке [а,b]
()
.
1
0
∑
−
=
Δ
n
k
kk
xxf (2.7)
В согласии с условием при любом x из [a, b] имеем
0)( ≥
x
f
. В част-
ности, сможем написать 0)( ≥
k
xf . Так как при любом k имеем
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
