Составители:
Рубрика:
50
()
bb b
aa a
mdx f x dx Mdx≤≤
∫∫ ∫
.
Вынося постоянные множители m и М за знак интеграла и учитывая,
что
b
a
dx b a=−
∫
, получаем неравенство (2.10).
Свойство 7. (Теорема о среднем).
Если функция
()
f
x
непрерывна на промежутке
[
]
,ab, то в этом
промежутке найдется хотя бы одна такая точка с, что будет иметь место
равенство
() ()( )
b
a
f
xdx f c b a
=
−
∫
. (2.11)
Доказательство. Рассмотрим лишь случай ab
<
. Так как функ-
ция ()
f
x непрерывна на промежутке
[
]
,ab, то она достигает на этом
промежутке своих наименьшего и наибольшего значений, которые обо-
значим соответственно через m и М. Это значит, что всюду в
[
]
,ab
выполняется неравенство ()mfx M
≤
≤ и, следовательно, в согласии
со свойством 6 можем написать
() ()
()
b
a
mb a f xdx M b a−≤ ≤ −
∫
.
Разделив все части неравенств на положительное число
ba−
, получим
1
()
b
a
mfxdxM
ba
≤≤
−
∫
.
Так как функция ()
f
x непрерывна на промежутке
[
]
,ab, то она при-
нимает в этом промежутке все значения между т и М и, в частности,
значение
1
()
b
a
f
xdx
ba−
∫
. (2.12)
Обозначим через с точку, в которой функция ()
f
x принимает значе-
ние, равное (2.12), т.е.
1
() ()
b
a
f
cfxdx
ba
=
−
∫
.
Умножив обе части последнего равенства на ba
−
, получим (2.11).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
