Составители:
Рубрика:
49
0>Δ
k
x , то значит, что для каждого слагаемого в сумме (2.7) будем
иметь
0)( ≥Δ
kk
xxf
. Отсюда следует, что для любой интегральной
суммы (2.7) имеет место неравенство
()
.0
1
0
∑
−
=
≥Δ
n
k
kk
xxf
Переходя к пределу при 0→
λ
, получим (2.6).
Свойство 5. Если а < b и на промежутке [а, b] функции f(x) и g(х)
интегрируемы, причем всюду в [а, b] выполняется неравенство f(x)
≤
g(х), то
() ()
∫∫
=
b
a
b
a
dxxgdxxf. (2.8)
Доказательство. Введем в рассмотрение функцию
() () ()
x
gx f x
ϕ
=−. В согласии с условием справедливо неравенство
I(
() () ()
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf x) > 0 всюду в [а, b] и, следовательно,
в согласии со свойством 4, будем иметь () 0
b
a
xdx
ϕ
≥
∫
, или в таком ви-
де
[]
() () 0
b
a
gx f x dx−≥
∫
, а затем в виде
() ()
bb
aa
g x dx f x dx≥
∫∫
, т.е. мы и
получили что требуется.
Свойство 6. Если ab< и на промежутке
[
]
,ab функция ()
f
x ин-
тегрируема, причем всюду в
[
]
,ab выполняется неравенство
()mfx M
≤
≤ , (2.9)
где т и М - некоторые постоянные, то
()
(
)
()mb a f xdx M b a−≤ ≤ −. (2.10)
Доказательство. Так как для функции ()
f
x всюду в
[
]
,ab вы-
полняется неравенство (2.9), то, используя дважды свойство 5, можем
написать
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
