Составители:
Рубрика:
47
ный интеграл от непрерывной функции равен алгебраической сумме
площадей криволинейных трапеций, ограниченных графиком этой
функции, осью абсцисс, а так же прямыми х = а и х = b, причем площа-
ди трапеций, расположенных над осью абсцисс, берутся со знаком +, а
площади трапеций, расположенных под осью абсцисс - со знаком -.
§2. Основные свойства определенного интеграла
Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств определенного
интеграла.
Свойство 1. Если функция f(x) интегрируема на промежутке [а, b]
и с - некоторая постоянная, то функция с f(x) также интегрируема на [а,
b], причем
() ()
∫∫
=
b
a
b
a
dxxfcdxxcf
. (2.4)
Доказательство. Вначале составим интегральную сумму для
функции сf(x) на промежутке [а, b], а затем вынесем общий множитель
с всех слагаемых за знак суммы. Получим
() ()
∑∑
−
=
−
=
Δ=Δ
1
0
1
0
.
n
k
kk
n
k
kk
xxfcxxcf
Переходя в этом равенстве к пределу при 0
=
λ
, получим равенство (2.4).
Свойство 2. Если функции f
1
(x) и f
2
(x) интегрируемы на проме-
жутке [а, b], то их сумма f
1
(x) + f
2
(x) также интегрируема на промежут-
ке [а, b], причем
() ()
[]
() ()
∫∫∫
+=+
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfxf
2121
. (2.5)
Доказательство. Вначале составим интегральную сумму для
функции f
1
(x) + f
2
(x) на промежутке [а, b], а затем представим ее в виде
суммы интегральных сумм для слагаемых, т.е.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
