Составители:
Рубрика:
52
висит от выбранного значения х, т.е. является функцией х. Обозначив
эту функцию через ()Fx, будем иметь
() ()
x
a
Fx ftdt=
∫
.
Функцию ()Fx называют определенным интегралом с переменным
верхним пределом.
Теорема. (Барроу). Если функция ()
f
x непрерывна на проме-
жутке
[
]
,ab, то интеграл с переменным верхним пределом
() ()
x
a
Fx ftdt=
∫
имеет производную, равную значению подынтегральной функции при
верхнем пределе, т.е.
() () ()
x
a
Fx ftdt fx
′
⎛⎞
′
==
⎜⎟
⎝⎠
∫
.
Доказательство. Вычислим производную функции ()Fx, исходя
из определения производной. Для этого зафиксируем произвольное зна-
чение х из
[
]
,ab, дадим ему некоторое приращение
x
Δ
и найдем соот-
ветствующее ему приращение функции ()Fx, используя свойство ад-
дитивности определенного интеграла относительно промежутка интег-
рирования
()
( ) ( ) () ()
xx x
aa
Fx F x x Fx f tdt f tdt
Δ
ΔΔ
+
=
+− = − =
∫∫
() () () ()
xxxxxx
axax
f
tdt f tdt f tdt f tdt
ΔΔ++
=+ −=
∫∫∫∫
.
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим
() ()Fx fc xΔΔ
=
,
где с - некоторая точка между х и х +
x
Δ
. Из последнего равенства
следует
()
()
Fx
f
c
x
Δ
Δ
= .
Замечая, что при
0
x
Δ →
точка с стремится к точке х, и учитывая не-
прерывность функции ()
f
x , получим окончательно
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
